HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 479 

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(p) =2hX\. ~{-p-i^3 +^4*4 = ° > 

 (?) = Çi^i + Çs^3 + ?4*4 = ° 



gegebene Gerade / eine n-fache Kante , mit der Ebene {q) = 

 als einziger Berührungsebene. 



Die Gerade t {{p) = , x k = 0) ist eine (m — «)-fache Kante 

 mit a? 4 = als einziger Berührungsebene. 



Der Kegel ƒ ' = hat die durch 



J' j ip') =Pï' x -2 + PÎ x i + Pi' ^4 = 0, 



' " * ( (/) = qi a? 2 -f- £ 3 ' a? 3 4- ? 4 ' a? 4 = 



bestimmte Gerade V als eine ;/-fache Kante, deren sammtliche 

 Berührungsebenen in (q) = vereinigt sind. 



Die Gerade t' ( (//) = , a? 4 = ü) ist eine (m>/ — #')-fache Kante, 

 deren einzige Berührungsebene a? 4 = ist. 



Die Elimination von œ z aus (29) und (30) bedeutet geometrisch : 

 Projektion aus X 3 (z. B. auf x z = 0) der beiden Kegeln gemein- 

 samen Schnittkurve. 



Die Raumkurve, in der /= und /' = sich schneiden, ist 

 vom Grade mm'. Falls X 3 dieser Kurve nicht angehört, ist auch 

 der projizirende Kegel vom Grade mm'. Durch die Elimination von 

 w aus (27) und (28) erhàlt man also im Allgemeinen eine Glei- 

 chung in io A und io( von teilbarem Grade ; wir brauchen daher 

 diesen Fall nicht weiter zu betrachten. 



Wenn X 3 beiden Kegeln angehören soil, so muss die Bedingung 



p. A = und p 3 = 



erfüllt sein. Wir haben alsdann die folgenden Gleichungen zu be- 

 trachten 



ƒ (a? 2 , x 3 , x 3 ) = {p. 2 'x 2 -\- pi'xj' 1 ' — {qjx. 2 -\- q 3 x 3 -f- £ 4 'a? 4 ) n 'a? 4 m ' _n ' = 0. 

 Die Ordnung der Singularitât von X 3 ist nunmehr 



m (m' — ri) , 

 m' {m — ri) , 



m {ui ' — ri) = m' {m — >i). 



Da die Fàlle A und B nicht wesentlich verschieden sind, wol- 

 len wir uns nur mit den Fallen A und C beschàftigen. 

 Im Falle A ist der Grad des projizirenden Kegels 



m ri, 



A. 



fur mri ]> m'n 



B. 



„ ni ri <C m'n 



C. 



,, mri = m'n 



