484 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PAKABOLISCHEN UNI) 



o) < 1 , oder // <C 2v ; es ist y 2 v die hochste Potenz 



von y 2 . 



Der Punkt JV ist jetzt ein (// — i/)-facher, dessen Tangenten 

 alle mit y k = zusammengefallen sind; diese Gerade bat ini Be- 

 ril hrungspnnkte v Punkte mit der Kurve gemein. 



c) = 1, oder fi = 2v, also u, = 2, v = 1, wonach (39) 



v 



lantet : 



c-ïy? — c A yi-\- \— Cs'ctfi -\- c 3 c>yo ~\- (c 3 .cï — Cz'ci)^} y k = , 



nnd demnach einen Kegelsclmitt darstellt. 



Wir wollen diesen Fall nicht weiter erledigen, da wir zuniichst 

 die qnadratische Gleiclmng eingehend erörtern werden. 



Die letzten Ergebnisse zusammenfassend, kunnen wir behanpten, 

 dass die durch die Elimination von y. A aas (31) nnd (32) erhaltene 

 Gleichung bei der Annahme m = m={x, n=n'=v eine Kurve 

 vom Grade fxv darstellt. welche für [x > 2 v mit der Gerade 

 y 4 =0 \x !/-fache Punkte gemein hat, deren einzige Tangenten sich 

 alle in \\ treffen nnd in ihren Berührungspunkten je \x — v Punkte 

 mit der Kurve gemein haben , dagegen für v < jx < 2 v mit der 

 Gerade y tl = ;x (fx — v)-fache Punkte gemein hat, deren jeder 

 y k = als Tangente mit v-fachem Contakte hat. 



Übersetzen wir dies in die ursprüngliche Fassung, so folgt: 



Für Bchandlung mit der Strahlencongruenz up = w' v vermöge 

 der Gleichungen (31) und (32) kommt in Betracht: 



1° für f/, ^> 2v ein Diagram vom Grade fiv , welches im Unend- 

 lichen \x v-fache Punkte hat, die sich aus einer Binomialgleichung 

 ergeben, und deren Asymptoten alle nach dem Ursprung convergiren; 



2° für v <C l J ' <C 2 v ein Diagram vom Grade \xv , welches im 

 Unendlichen \x ([x — i>)-fache Punkte hat, welche durch eine Bino- 

 mialgleichung bestimmt werden, und deren siimmtliche Tangenten 

 im Unendlichen liegen, und eine v-fache Berührung aufweisen. 



§ 5. Wir wollen jetzt die Darlegungen des vorigen § nur auf 

 hyperbolischen Congruenzen anwenden. Wir haben demnach den 

 Funktionen vj' > ^ U1U 1 9 diese Formen zu erteilen : 



v|/ (w, to') = w'" w" — 1 = 0, 



ty{w,v>') h-'"'/o"'— 1 = 0, 



H{w, w') - wV — 1 = 0. 



