HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAJVIMENHANGEN. 485 



Die Funktionen ƒ, f' und ^erhalten somit die folgende Gestalt: 



f (w it 7b) = (a i w x -}- a w -f- « )'" (#1 «'i -f- ?w -f- ^,)" — 1 = 0, (40) 

 f(wï,w)= (/V^i'H - 3'w -f- fl ') m '(3 1 'w 1 ' -j- T)'w-\- b ') n ' — 1 = 0, (41) 

 # 7 (w, TT/) = (a ïë -f- b œ + c) M (aw-\- b'Tö' -f- c')' v --1 = 0. (42) 



Wir setzen voraus 



»« > /^ , /// ' ~> a , M > iV. 



Die Elimination von To und «3' ergiebt ira Allgemeinen eine 

 Gleichung vom Grade {in-- n)(m' ■ - n')(M -~ N) in w, und w( , 

 d. h. es ist ^i ("'i , W\ ') = im Allgemeinen vom Grade 

 {m -\-n)(m'-\-n)( W -\- N). 



Der Grad ist sonach eine Zald mit drei Teilern. Es handelt 

 sieh wieder uni die Frage, in welehem Falie dieser Grad ernie- 

 drigt wird. 



Wir bringen zuvor die Gleichungen (40), (41) und (42) in diese 

 Form : 



f {x l ,œ z ,x b ) = {p JL œ i f-A/'a +/>.-,''V ) )'"(!Zr?'i + -Z3A3+ £5*5)" — a? 5 m+w =0, 

 ƒ '(a? 2 , a? 4 , a? 5 ) = (j)^-\-p^ +^> J )"% 2 '' , 2+?i''' , i + Ç^ù"'— œ 5 m ' +n '= , 

 *W* 4 ,* 5 ) = (i> 3 + *WNW "((Wf <U+ Q# 5 ) iV -^ A/+iV = 0. 



Es stellt ƒ = einen Rauni vom Grade m--n dar. 



Die Ebene [x- = , {ji) = 0) ist eine w4aehe und hat {p) = 

 als einzigen Berührungsraum. 



Die Ebene (,/',, = 0, (q) = 0) ist eine ra-fache und hat (^) = 

 als einzigen Berührungsraum. 



Die Betrachtungen betreffende ƒ ' = und F=ö sind völlig 

 analog. 



Es fragt sich auch hier, ob die Gerade X 3 X 4 einen Punkt mit 

 der vierdiinensionalen Sehnittkurve gemein hat. 



Der Raum f=0 schneidet X 3 X 4 im {ni -j~ «)-fachen Punkt X 4 , 

 wenn nicht /^ = oder ^ 3 = 0. 



1st p 3 = O, so ist X 3 X 4 eine w/4'ache Gerade von ƒ = 0; q 3 = 0, 

 ergiebt X 3 X 4 als eine œ-fache Gerade. 



Wenn man sowohl p 3 = wie q-, = hat, so kann ƒ = in 

 m -\- u linearen Gleichungen r v >\ -\- r h x :) zerlegt werden. 



Der Raum ƒ' = schneidet X 3 X 4 im (m -{- //)-l'achen Punkt 

 \ ; , wenn nicht />,[ = oder ql = 0. 



Hat man f I = , so ist X 3 X 4 cine »/-fache Gerade; ql = 

 macht X 3 X 4 zu einer #'-fachen Gerade. 



