HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 487 



Die Fliiche ƒ = ist ein Kegel mit X> als Spitze. 



Die Gerade (Qy) = 0, a? 4 = 0) ist eine w-fache Kante mit (jy) = 

 als einziger Berührungsebene. 



Die Gerade ((q) = ü, a? 4 = 0) ist eine «-fache Kante mit (q) = 

 als einziger Berührungsebene. 



Analoges ergiebt sich für f = 0. 



Die Schnittkurve ist vom Grade (m -j- n) (m -J- «') 



Wir fordern wiederum, dass A^ auf dieser Kurve liege. 



Dann hat man die Bedingnngen 



p 3 — oder q A = , 

 nnd 



p 3 ' = oder q 3 ' = 0. 



Die Combination p s = , /j :j ' = giebt X 3 als einen //////-lachen 

 Punkt. Der projizirende Kegel ist alsdann vom Grade 



(m -f- n) {iii -(-- ti') — mm' = mn' -j- m'n -\~ nn. 



Behalten wir die Annahme 



/// > n , m >n, 



so leuchtet ein, dass die Combination p 3 = , p 3 ' = eine Pro- 

 jektionskurve vom niedrigsten Grade liefert; dieser Grad is wenig- 

 stens 3. 



Wir wollen diesen Fall eingehend betrachten. 



Für p 3 = , p s ' = lauten die Gleichungen : 



ƒ (w it w Ht é^ = (Pi^ -\-p^ m faWi -f- q 3 x 3 -f £ 4 a? 4 ) n — a? 4 w+w = , 

 f'ix 2 ,œ 3 ,x^ = {p.{x % -\-plxd m ' (q-y+'i + ?a'*s + ft'**)"' — *4 m ' +w ' = 0. 



Die Coordinatentransformation 



//,<?, + /> 4 a? 4 =pi, 



p,'ll\ 2 -f" /V'^4 = h ' 

 «3 = ^3 . 



# 4 = y 4 

 verwandelt die obigen Gleichungen in die folgenden: 



./' {*,fr,yù =n m fc* + ^>h + <v/0" — * m+ " - - o , (47) 



ƒ(*,*.*) =y. m 'fe>.+ C 3 >3 + C4>4) M ' — y 4 m ' +n '= 0. (48) 



Die Elimination von y 3 liefert 



