HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSAMMENHANGEN. 191 



Diese Untersuchuug wird hier nicht eingehend beschrieben wer- 

 den, weil sich dabei kein neues Moment darbietet. Es genüge zn 

 bemerken , dass die vielfachen Ebenen der hyperbolischen Riiume 

 niemals mit denjenigen der parabolischcn Riiume den Berührungs- 

 raum geniem haben , wonacli die Singularitât eines eventuellen 

 Schnittpunktes auf X s X, t immer von niedriger Ordnung bleibt. 

 Diese Ordnung ist z. B. mM(m' — n), oder m'N(m — u), u.s.w. Der 

 Grad des projizirenden Raumes ist jedenfalls noch immer eine 

 Zahl mit mindestens zwei Teilern. Wir lassen demnach diesen Eall 

 ausser Betracht und wenden uns dem Falie zweier Funktionen , 

 ciner hyperbolischen und einer parabolischcn , zu. 



Es sei gegeben 



f{it\, w) = {a x w -{- aïó -f- tf )"' {b x w -j- b To -|- b u )" = , (51) 

 f{wl,w) = {a^w -\- c/w -J- a ') m X6 ± 'w -f- b'w -f- b ') n ' = , (52) 



oder in homogener Form 



ƒ {3e^œ 3 ,œ^={p x sû x ~{-p z x z -\-p lk œJ n (^-j- -'^8+ ÇiPaT — a' 4 "' + ' — 0, (5 3) 

 /'(^,^,^)=(/;> 2 H^3'^^;,rJ''''-(^+^3+^rO'''/',''''-''=0.(54) 



Soil jede dieser Flachen den Punkt X 3 enthalten, so muss den 



p 3 =0, p 3 ' = 



Bedingungen 



oder den Bedingungen 



^3=0, p-i' = 



gcniigt sein. 



Weil die Zahlen m und n gleichwertig sind, so dürfen wir uns 

 auf eiuen dieser Falie beschriinken. Wir setzen also voraus 



A = , p 3 ' = 0. 

 Durch Coordinatentransforination gelangen wir zu 



ftyuMÙ =2™ (CiZli + HVz + Wù n — ,'A'" + " = , (55) 



f{yi>yz>yè = //■>'"' - - fe> 2 + c 8 > 3 -f c^x' y™'~ n ' = o. (56 ) 



Die Elimination von y 3 ergiebt 



;// ik — /! 



'•^ry-Z + K^i— c 3 c2>2+(^4— c3c 4 > 4 |yi M r y 4 "' -c 3 > 4 " "'=0- 



(57) 



