192 FUNKTTONEN, WELCHE MIT PARABOLISCHEN UND 



Dicse Kurve ist vom Grade mn -f- mn (vveil m >> n' und m > n 

 ist, so ist der niedrigste Wert dieses Grades 3). 



Der Punkt Y { ist ein n(m — »')-facher; seine einzige Tangente 

 ist y 4 = 0; sie hat in 1^ mn Pnnkte mit der Kurve geniein. 



Der Punkt Y. 2 ist ein mn' -fâcher ; seine èinzige Tangente ist 

 >J\ = > welche in J. 2 »m' -f- »*'# Punkte mit der Kurve gemein hat. 



Der Punkt Y k gehort der Kurve nicht an. 



Wir behaupten daher: 



Für Piehandlung mit den Strahlencongruenzen w m w' n = 1 und 

 tr'"' = ic' n ' , vermöge der Gleichungen(51) und (52), kornuit in Betracht: 



ein Diagram vom Grade mn-\-mn, das im Unendlichen auf 

 der w-Axe einen n(m' — »')-fachen Punkt hat, mit der unendlioh 

 fernen Gerade als einziger Tangente, wâhrend diese im vorliegenden 

 Berührungspunkte mn Punkte mit dem Diagram gemein hat, — 

 oder das im Unendlichen auf der to'-Axe einen mn -fachen Punkt hat 

 mit der iv'-Axe als einziger Tangente, wâhrend diese in ihrem Be- 

 rührungspunkte mn -\~ mn Punkte mit dem Diagram gemein hat. 



§ 7. Der Vollstiindigkeit wegen haben wir noch den Fall einer 

 Gleichung ƒ = zu crürtern , wo w durch vol ersetzt wird. Be- 

 trachten wir zuerst die parabolische Gleichung 



f{n\, Wj[) = {aw x -\~ dio{ -\- a Q ) m — {bw^ ~\~ b'u\ -\- b )" = 0. 



Das Diagram ist off en bar eine Kurve vom Grade m , welche im 

 Schnittpunkte der Geraden aw x -j- du\ -f- a = und bw^ -\- b'w t ' -\- 

 -f- b ù = einen ^-fachen Punkt hat , mit letzterer Gerade als 

 einziger Tangente , — und welche im unendlich fernen Punkte 

 der Gerade aw x -j- a'w^ -\- a {) = einen {m — »)-fachen Punkt hat, 

 mit der unendlich fernen Gerade als einziger Tangente. 



Dagegen weist eine hyperbolische Gleichung, z.B. 



f (w i} a\') = (aic x -j- a'n\' -\- a )'" (ba\ -j- b'a\ -f- b ) n — 1=0, 



als Diagram eine Kurve vom Grade m -j- n an,, welche im unend- 

 lich fernen Punkte auf atc { -\- a'/i\ -\~a = einen w-fachen Punkt 

 hat, mit dieser Gerade als einziger Tangente, wâhrend die Ge- 

 rade biOi -\- b'w( -\~ 6 Q = die einzige Asymptote eines w-fachen 

 unendlich fernen Punktes ist. 



§ 8. In den vorhergehenden Paragraphen haben wir die F rage 

 erledigt, welchen Bedingungen das Diagram von ^i(w ii w i ') = 

 geniigen muss, damit diese Gleichung zu einer Erörterung mittels 





