HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUS AMMEN HANGEN. 49 ( J 



( - x -\ g) (pax -\- p b'g) — c 2 = 0. 



Damit ist die Gleichung der Hyperbel zur Anwendung der Con- 

 gruenz ww' = e 1 geeignet geworden. 



Beispiel. Man fragt die Balm von x und g , wenn der Punkt 

 (x , g) der Schnittpunkt ist der Hyperbel mit den reellen Geraden 

 eines Strahlenbüschels mit reellem Scheitel P(X , Y). 



Uni diese Frage zu lösen , wollen wir zuerst untersuchén , wie 

 eine réelle Gerade durcli eine Strahlencongruenz dargestellt wird. 



Die Gerade moge dnrch 



w' = y (/o — u Q ) 



angewiesen sein, wo y und u réelle Grossen sind. 



Wir haben auf S. 4G5 gefunden, dass die lineare Funktion mit 

 reellen Constanten durch einen Strahlenbündel vertreten wird, des- 

 sen Scheitel C in der Ebene der reellen Axen liegt und zwar auf der 

 Gerade, welche den Punkt JF (wofür w = u gilt) mit O' verbintlet. 



Die Lage von C auf dieser Gerade wird durch die Beziehuug 



W C: 0'C= 1 -.y 



bestimmt. 



1st w = X , w' = Y (X und Y reell) ein der linearen Gleicliung 

 genügendes System , so muss der Strahl X Y nach dom Punkte 

 C zielen. 



Umgekehrt , soil 



w' =y(w — u ) 



eine Beziehuug sein, welche durch w = X, to' = Y erfüllt wird, 

 so muss der Scheitel C sich auf der Gerade XY befmden. 



Das System (X, Y) w T eist in gewölmlichen cartesischen Coördina- 

 ten einen reellen Punkt P an, m' = y(w — // ) eine réelle Gerade. 



Die Bedingung , dass (X, Y) auf der Gerade w' = y(w- u ) 

 liegen soil , wird also crsetzt durch die Forderung . dass C sich 

 auf XY befinde. 



Alle réelle Geraden w = y {w — w ) , welche sich in P ( \ , ) ) 

 treffen, werden also vertreten durch die Gesammtheit aller Strahlen, 

 welche auf X Y ruhen , 



oder auch: 



/('der, réelle oder i /nar/ i na re, Punkt Q (w = %,w' — y), welcher 

 mit P durch cine réelle Gerade verdunden wird, wird durch einen 

 auf X Y ruhenden Si ra hl dargestellt. 



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