HYPERBOLTSCHEN CONGRÜENZEN ZUSAMMENHA.NGEN. 509 



OIO 90 



U -f- V* = fC\ 



Weil réelle Combinationen (x , y) complexe Werte von w und w 

 liefern , so ist dieser Kreis, welcher mit /' bezeichnet werde, die 

 Abbildung der reellen Punkte der Ellipse. 



Dieser Kreis andert sicli nicht bei der Drehung -\- fi , vvelche 

 auszuführeu ist uni die Balm von w zu erhalten. 



Die auf /' ruhenden Strahlen schneiden die Ebene von y wie- 

 deruin in der irnaginaren Axe, wonach die entsprechende Bahn 

 von y die réelle Axe ist. 



Von grosser Bedeutung ist aber die Bahn der complexen Werte 

 von y, welcbe zu reellen Werten von x geboren. 



Diese Bahn riihrt von der irnaginaren Axe in der Ebene \w~\ her. 



Die iinaginâre Axe der yr-Ebene entspricht in der /r-Ebene einer 

 Gerade , welche den Winkel -\- /3 mit der irnaginaren Axe bildet, 

 deren Gleichung somit lautet : 



x cos (2 -\- y sin /3 = 0. 



Wenn wir sie durch 



x x x x -f- x., x., = 



darstellen wollen, so haben wir zu setzen 



e—W e>P 



-,=-,-. «,= T - 



Die axiale Regelflâche dieser Geraden ist ein Hyperboloïd, des- 

 sen Gleichung sich ergiebt, indein man in (7S) (S. 66) x 3 = 

 einsetzt und nachher durch x k teilt. Man findet alsdann 



x^ u*l (x t x A -\- x 2 x. 1 )(x. z x i -\- x^x. z ) — (x? X.ff X-^X^ = 0. 



Wenn diese Gleichung in cartesische Coördinaten übergeführt 

 wird , verwandelt sie sich in 



o 

 C 



{x cos /3 -\- y sin /3) (x cos /3 — ij sin /3) = y, si/i 1 2/3 • z (z — h). 



Diese RegelHache schneidet z = qh in der Kurve 



(x cos /3 -J- // sin (2) (x cos /3 — y sin /3) = c~ si/r 2/3 • q{q -- 1 ) , 

 oder 



