514 FUNKTIONEN, WELCHB MIT PARABOLISCH EN UND 



Beachten wir, dass in der parabolische!) Gleichung immer m >• n, 

 m'^>n', fx^>v gelten muss, so folgt , dass wir kubische Gleichun- 

 gen in den folgenden Pallen erhalten : 



A A 1 '«w=3, «=1; A 2 «=3,^=2; 



B m=2, n=\; 



C C, »»=3, »=1, w'=2, #'=1; C 2 a»=2,«=l,j»'=3,»'=l; 



1) |M,=3, y = l (also 1) 1 ) ; 



E ii ie m als; 



F //,= 1, i/=l ; 



G w=J , »=l,m / =2, »'=1. 



Inde m wir C 1 mit C 2 gleichwertig achten, da Vertauschung der Gros- 

 sen it\ und /ri' zuliissig ist, so erübrigen wir die folgenden 7 Typen: 



^(^V) =(««>< -f «'«?/ 4~ «o) 3 — {àn\ -4- 0V/ -f- £ ) = ; 

 ^i {p u w£)={awi -f- fl'^i' ~h ft o) 3 — (b w \ ~~\~ b'i<h ~\~ ^o) 2== ; 

 ^c tit\,Wi)=(atL\ -\- a'u\ -j- r/ )' 2 (3w 4 -f- ^'w/ -f- ó ) - — -1 = 0; 

 F c {wj i ,Wj[)=U'{a i p ± -{-a^f — ~b{a^n\~\-a^f — F(6 l w i -\-è )-\-6~(b i 'w i , -}-6 ')=0; 

 F D (wi, îi\)—b'{a i îL\A r a i Ù'' — b^'w^' -\-a 'f — F(b i ic\ J r b ù ) J r ô(b i ''/!\' J r b ')= ; 



^f(»h «0=|<5"'(*i«>i + #o) — b~(p^u\ 4- V)ï Oi^i + «o) («ï'Wi' + ö o) + 



-f ^(fl^ -f- a ) — <5' (a-./^/ -f « ) = ; 

 F G (w i} w{)—b{a x w x -\- a ü ){a(n\ -f- r/,/)' 2 + 



+ |0"'(V'"i + *u) — ^i'"V + V)j(«i^i + a ) — ÏÏ = 0. 



Dnrch Verschiebnng des Anfangspunktes sind diese Gleichnngen 

 in die folgenden eihfacheren Formen zu brin gen, wo noch tc\ durch 

 x K ,u\ dnrch y und die Coëfficiënten durch andere ersetzt sind. 



■^.C*. y) ( aœ + ty? + cx + dy = ° ; 



F A (j)B,y) ' ' (ax -f- fy/) 3 -L- (csr -f fi?y) 2 = ; 

 ^b («, jO : {aoB -f <5y) 3 (ca? -j- dy) — e = ; 

 F c (w , y) ~ om 3 -f y -f cm + rf = ; 

 ^ (*> #) = a$ -f V H-ca?-|-fl^-f-e = 0; 



T^,- (x,y) = ax'-y - j- &r/ 2 -J- cxy -\- dx -f- ey = ; 

 ■^c ( w > V) - ax y 1 ~\~ bx -\- cy -\- d = . 



Wir werden von diesen Kurven nach einander die kennzeich- 

 nenden Eigenschaften ermitteln und nachher untersuchen , durch 

 welche Transformationen eine gegebene kubische Kurve in eine der 

 obigen Typen umgeformt werden kann. 



A t F(x, y) = (am -J» by f -f cx -j- dy = 0. 



