HYPERBOLISCHEN CONGRUENZEN ZUSA YLMENHANGEN. 523 



Die Brennpunkte bilden den einzigen reellen Bestandteil der 

 Ausartungsfigur, welche die obise Kurve 6 ten Grades zura Gesainmt- 

 schnitte der Regelflache erganzt. 



Die Schnittpunkte der Kurve mit der «-Axe sind ans 



»ç m ij, S Srf , + ^_* = 0> 



a a er a* a' ar 



oder durch 



(ax' 3 -f- ca? -|- df — Br = 



bestimmt. 



Wir bemerken wiederum, dass dera Büschel concentrischer Kreise 

 urn den Nullpnnkt in der ^-Ebene ein Büschel tricircularer Kur- 

 ven 6 te " Grades entspricht, dem die 6-fache unendlicli feme Gerade 

 angehört. Sàmmtliche Elementen des Büschels liaben in den Kreis- 

 punkten die Tangenten gemein. 



Dieser Büschel ist also zugleich eine Schar. 



Der Parameter des Büschels concentrischer Kreise ist B? , der- 

 jenige der Kuiven 6 ten Grades ist Br. Einem in der ^-Ebene lie- 

 genden Kreise ist also eine in der «-Ebene liegende Kurve 6 ten 

 Grades zugeordnet, wahrend eine in der #-Ebene liegende Kurve 

 G ,e " Grades mit zwei Kreisen in der ^-Ebene übereinstimmt, deren 

 jedoch einer imaginai' ist. 



Ein Strahl des Strahlenbüschels um den Nullpunkt sclmeidet 

 einen Kreis des concentrischen Kreisbüschels in zwei Pnnkten y , 

 vvelche jedoch entgegengesetzten Werten von y entsprechen. Ver- 

 möge der gegebenen Gleichung liefern beide dieselben drei Werte füra?. 



Es gehort jedes Element des Büschels kubischer Kurven zu 2 

 Strahlen des in der y-Ebene behndlichen Strahlenbüschels, welche 

 ziisainmen mit einem Kreise des Kreisbüschels 4 Punkte y also G 

 Puiikte x bestimmen. 



Aus diesem geht hervor, dass jede kubische Kurve des Büschels 

 jede Kurve 6 ten Grades der Büschelschar in G reellen. Punkten 

 sclmeidet, so lange die genannten 4 Werte fur y ausschliesslich 

 imaginaire Werte für x bestimmen. 



Von den 18 Schnittpunkten einer kubischen Kurve mit eine 

 Kurve 6 ten Grades sind also immer loenigstens 12 imaginai'. 



Wir beendigen diese Betrachtnngen mit der Bemerkung, dass, 

 weil der Strahlenbüschel und der Büschel concentrischer Kreise in 

 der y-Ebene sich rechtwinklig schneiden, auch die kubischen Kurven 

 und die Kurven 6 ten Grades orthogonale Trajektorien sind, und 

 ausserdem die «-Ebene in elementare Quadrate ein teilen. 



