524 FUNKTIONEN, WELCHE MIT PA1U130LISCHEN UND 



Bevor wir die Erörterung dieser kubischen Gleicliung schliesseu, 

 wollen wir uns noch kurz beschiiftigen mit der Frage nach der Anzahl 

 der Zweige des Diagrammes, und nach dem Geschlecht dieser Kurve. 



In der gegebenen Gleichung 



y 1 = ax 3 -\- ex -\- d 



wird die Bedingung dreier reellen Schnittpunkte mit der x-kxe 

 durch die folgenden Ungleichheiten angewiesen : 



4 c 3 -f 27 ad 2 <0 für «>0, 

 und 



4c 3 -}- 27ad 2 >0 für a < 0. 



In diesem Falie enthalt demnach die Kurve zwei' Zweige. 

 Dagegen giebt es nur e'inen Zweig, wenn 



4c 3 + 27^/' 2 >0 für a>0, 

 und 



4 c- 3 -f- 27r/^ 2 <0 für a < 0. 



Ein Doppelpimkt ist vorhanden, falls 



4 c 3 -}- 27ad 2 = 0. 



Wenn es zwei Zweige giebt, so mussen, falls x die réelle Axe 

 beschreibt, die beiden Werte von y zuerst reell, daim imaginai', 

 dann wieder reell und schliesslich wieder imaginai- werden. 



Mit dieser Bewcgung von y ist cbenso eine bestimmte Balm 

 von y' verblinden; y' beschreibt zuerst die positive, dann die nega- 

 tive, nachher wieder die positive und endlich wieder die negative 

 Seite der reellen Axe, wahrend die Balm von y" erhalten wird, 

 indem man die Bahn von y' einen Betrag d in der positiven Rich- 

 tung verschiebt. 



Wenn x sich langs der reellen Axe bewegt, so umhüllt der 

 Congruenzsti'ahl in der Congruenz x' = a? 3 die Fokalkurve 3 ter Klasse 

 in der Ebene der reellen Axen. Diese Kurve hat im Nullpunkte 

 der <r'-Ebene einen Rückkehrpunkt mit der Verbindungslinie der 

 Nullpunkte als Tangente. Ausserdem befindet sich im Unendlichen 

 auf der reellen Axe ein Wendepunkt, dessen Tangente mit der 

 reellen Axe der a>Ebene ziisaminenfàllt. 



Weil eineni positiven x ein , positives' x' entspricht, so darf 

 zwischen den beiden Abbildnngsebenen kein reeller Teil der Kurve 



