520 FüiNKTlONEN, WELCHE MIT PATIABOLISCHEN UND 



erhalten , wenn der Nullpunkt O' der y'-Ebene innerhalb der Fokal- 

 kurve angenommen wird. 



Eine Kurve mit einem Zweige finden wir offeubar, wenn wir 

 den Nullpunkt O' ausserhalb der Fokalkurve legen. 



Eine rationale Kurve wird sich aber ergeben , sobald wir den 

 Nullpunkt O' auf der Fokalkurve wahlen. 



Dass das Vorhandensein zweier Zweigen mit der Lage von (/ 

 innerhalb der Fokalkurve zusammenhangt, lasst sich auch folgender- 

 massen nachweisen. 



Wir denken uns drei zu der %-Axe parallèle Geraden, die eine, 

 l A , unterhalb der a?-Ebene , die zweite , / 2 , zwischen den Abbil- 

 dungsebenen , die dritte , l 3 , oberhalb der a?'-Ebene. 



Die Gerade l x schneidet die Kurve in zwei reellen endlichen 

 Pnnkten J l und B i , die Gerade l 2 schneidet die Kurve nicht ini 

 Endlichen , die Gerade l 3 trifFt die Kurve in den reellen endlichen 

 Punkten J 3 und B 3 . 



Ein Punkt P u auf einer dieser Geraden , /,. , wird durch den 

 Abstand p k von 1 J ,. zum Schnittpunkte von l k mit der 2-Axe ange- 

 wiesen ; dieser Abstand wird in derselben Richtung positiv gerech- 

 net wie die Punkte der reellen <r-Axe. 



Wir stellen mis auch noch vor , dass der Congruenzstrahl über 

 die Fokalkurve rollt , und zwar mit der Anfangslage {x = -j- oo , 

 w == -J- oo ). Für den Schnittpunkt P ± des Strahles mit ^ wird 

 nun gelten 



— so < Pt < b ± , 



bis der Berührungspunkt in £ i angelangt ist, wo p A = b x : 



Indem der Strahl weiter rollt, nimmt ;;,, wiederum ab, bis der 

 Berührungspunkt (nach zAveimaligem Durchgang durch das Unend- 

 liche) in den Punkt A { gelangt ist, wo p^ = a { = — b x . 



Nachher nimmt p i wiederum zu und erhiilt schliesslich den 

 Wert -\- oo . 



Es erhellt, dass P x die Strecke A X B X dreimal zurücklegt. 



Befindet sich nun O' auf /[ innerhalb der Kurve, d.h. innerhalb 

 der Strecke A x B x , so passirt der Punkt P x dreimal den Punkt O'. 



Anfangs ist //' negativ, von — co an, also y imaginai'; dann 

 wird y' positiv (in maximo = .0' B x ) , daher y reell; nachher wird 

 y' wiederum negativ (in minimo 0' A\) , also y wieder imaginai*; 

 und schliesslich wird y' wieder positiv, bis -j- co , daher y wieder 

 reell. Das Diagram hat demnach zwei Zweige. 



Wenn Ö' auf l x ausserhalb der Strecke A X B X liige, so wiirde P x 

 uur einvial den Punkt 0' passiren, es wiirde y' somit nur einmal 



