8 ÉTUDE SUR LES FORMULES 



mination des valeurs de x et R, nous égalerons toujours, dans cet 

 exposé, à zéro les coefficients des ternies affectés de l'indice le plus 

 petit dans (9). 



Si par conséquent dans (9) les 2n coefficients de L jusque L. ln _ x 

 inclusivement sont chacun en particulier égalés à zéro, si des 2?i 

 équations qui en résultent on déduit les n valeurs de x et les n 

 valeurs de R, et si on transporte ces valeurs dans (7) et (10), 

 alors on obtient pour (10) une expression pour I dans laquelle les 

 ternies de E avec L jusque L. ln __ x ne se présentent plus et on 

 obtient donc pour (7) une expression pour I x qui est la plus exacte 

 qui puisse être déduite de (9). 



Si Ton suppose, par exemple, le cas où l'on veut, de n ordon- 

 nées, déterminer une valeur approximative d'une intégrale, alors on 

 trouve les n valeurs de R, sub (7), qui pour n ordonnées, con- 

 duisent à la formule la plus exacte, au moyen des 2n équations 

 qu'on obtient en égalant à chacun en particulier les coefficients 

 de Z jusque L ln _ x inclusivement. On a de la sorte (pour p = 0, 

 1, 2, 3,. . .2» — 1): 



x i R { -\- x 2 R 2 -\- x 3 R 3 -\~ . . . -f- x n R n =^- 



x*B ± + x\R 2 + ^ 3 +...+ xlR n =±,)- (H) 



x^R.+x^R^x^R^. .. + a*^B n =± 



Avant de poursuivre, nous faisons remarquer qu'à chaque x p , 

 qui satisfait aux équations sub (11), s'attache en même temps une 

 valeur (1 — x p ) l ). 



Pour le démontrer on prend des équations sub (11) les (k-\-l) 

 premières, on les multiplie en numéro d'ordre par les coefficients 

 binomiaux du $ ème degré affectés de signes alternativement et 



— et additionne le tout. Alors on obtient 



+2Z 2 (1-1^ + ^=1^1-. .. + (_!)* V] + 

 + '•• + 



l ) Il en résulte immédiatement que les ordonnées doivent se placer deux a deux à 

 égale distance des deux côtés de la ligne qui, au milieu de la base de la figure, est 

 perpendiculaire à cette base. Le nombre des ordonnées doit doue toujours être pair; il 

 est vrai deux d'entre elles, notamment les deux du milieu, peuvent coïncider et, dans 

 ce cas, le nombre des ordonnées à calculer est impair. Voyez l'alinéa final du § 26. 



