(SPÉCIALEMENT DE GAUSS) ETC. 9 



= i-*.I+*^±U-_...+(_i^ l 



nol no o I V ' 



12' 1.2 3 ' ' ' ' v J k-\-l ' 



Dans le premier membre de cette équation , les formes avec les- 

 quelles R if B 2 , 72 3 ,. . ,B n ont été multipliés sont égales aux k lèmes 

 puissances de (1 — a?j), (1 — œ. z ), (1 — œ 3 ) . . . (1 — œ n ); le second mem- 

 bre est égal à , , , , notamment égal au terme initial de la série 

 ° k-\-l ° 



des # èmea différences de la série harmonique 1, \ y \ t . . . ! ) 

 Par conséquent on obtient 



*+l 



Cette équation est valable pour # = 0, 1, 2,... (2» — 1). On 

 obtient de nouveau, après substitution de ces valeurs pour /c, les 



*) Si l'on forme d'une série de nombres arbitraires 



Ai > ^2 7 A 9t *.*An 



les séries des le, 2e,. . . fce différences, alors on obtient pour le terme initial des fce diffé- 

 rences, la formule 



Si l'on y suppose Ai = 1, /l 2 = ^, /I3 = 77,- • •^ /l ' = ~r alors, en renversant Tordre, on a 



^ 1=( _ 1) * 11 _fi + ^lM_... +( _ 1) *_J_ ] (12) 



Par une soustraction effective, on obtient dans le cas de la série harmonique: 



, . , . 1 1 1 1 1 

 serie donnée - , -, -, -, -, 



le dmerences 



2e différences 



1.2 ' 2.3 ' 3.4 ' 4.5 1 



1.2. 1.2 1.2 



1.2.3 ' 2.3.4 ' 3.4 5 "' 



Par induction, on décide que la série des fc e différences peut être représentée par 



C-lrTÎTTTxï .(-1/ 



(fc + l)! ,v ' (fc + 2)! ' 



La justesse de cette induction apparaît, quand on déduit de ces fce différences suppo- 

 sées les (fc + l)o. On obtient alors immédiatement la même chose que quand on sub- 

 stitue (fc -J- 1) à fc. 



En simplifiant, on obtient 



. , ^=££ 



En égalant cette expression à celle sub (12) et en divisant par ( — I)' 1 " on a 

 1 __ k 1 *(* — 1) 1 ' k 1 



1 — T* H ï- s— • -5- — • • • + (— i; 



fc + 1 12' 1.2 3 * ' * ' v J fc + 1 



