(SPÉCIALEMENT DE GAUSS) ETC. 11 



On peut désigner une valeur approximative de /, c'est-à-dire J if par 



h = Mj-^±h± + Bj-=i±m + rJ^±^ + .....+ 



+ Ji m ^=^- I± ^ (17) 



où (^_! -f-y +1 ), (y_2-|-y+2)> e ^ c - représentent des couples d'ordon- 

 nées des 2m points connus de la vraie ligne limite de la figure 

 sub (13) et jR ± , B 2 , . . B in des nombres arbitraires. 



Si l'on représente l'erreur de l'approximation, c'est-à-dire la 

 différence entre l'aire exacte I sub (16) et l'aire approximative I x 

 sub (17) par E, alors on a 



/— l x = E et 1 = 7, + E (18) 



En transportant dans (17) les demi-sommes calculées de (15) des 

 2m ordonnées connues, on obtient 



/, = J2, \A + A 2 x? + J 4 .r, 4 + .-..+ A 2z _ 2 x?--\ -f 

 + B 2 [A -f A 2 œ? + A i w 2 i -f . . . + A 2 ._ 2 œf~ 2 \ + 



+ 



+ -K»,Mo+ A 2 x„}\ A.xJ-^ . . . -\-A 2z _ 2 œJ z - 2 \ = 

 = S («,1- JZ, + * 2 2 » ^ 2 + «j,* _E 3 + . . . + ^„, 2 " JÜJ ^ p . 



Cette équation soustraite de (10) donne, en vertu de (18) 



^= 2 l^+ï(i)' 2 ' — {^"B i -^x:-"B 2 + œi>'B i ^. . .+œ M 2 "BJ) A ip (19) 



où il faut remplacer successivement p par 0, 1, 2, 3, . . . z — 1. 



Au sujet des formules cV approximation les plus connues, 

 spécialement celles de Gauss. 



§ 10. Des expressions pour I x et E, développées dans le § 

 précédent on peut déduire les principales formules d'approximation 

 connues, ainsi que les fautes qui y appartiennent comme, par exemple, 

 les formules d'approximation selon Newton-Cotes, Stirling, Euler, 

 MacLaurin, Gauss, Christoffel, Lobatto et Hermite-Tchebicheff. 



Toutes les formules mentionnées ci- dessus excepté celle selon Gauss 

 pour un nombre pair d'ordonnées et celles selon Hermite-Tche- 

 bicheff, s'obtiennent en attribuant certaines valeurs fixées d'avance 

 respectivement à toutes les abcisses x\, œ 2 , a? 3 , . . . œ m ou à une partie 

 seulement d'entre elles et en calculant les valeurs correspondantes de 

 B x , B 2 , . . . ïï in de (19) en y assimilant à zéro autant de coeffi- 

 cients de A que E comporte d'inconnues x et B. 



Dans le développement des formules d'approximation selon Her- 



