12 ÉTUDE SUK LES FORMULES 



mite-Tchebicheff, les coefficients des premiers m termes de JE (19) 

 sont égalés à 0, dans ces coefficients les 11 sont considérés comme 

 égaux entre eux, c'est-à-dire qu'on prend 7^=i^ 2 = M s =...= R m = — 

 et au moyen des m équations qui se sont formées de la sorte, on 

 détermine les valeurs de x 1 ). 



Des formules mentionnées ci-dessus, nous ne discuterons que 

 celles de Gauss. 



Les formules d' approximation de Gauss. 



§ 11. Gauss traite deux cas 2 ). 



I e Dans le premier cas, aucune des 2m grandeurs x et 11 ne 

 sont considérées comme connues, de sorte que le nombre de coeffi- 

 cients de A, c'est-à-dire le nombre de termes de E qui dans (19) 

 peuvent être égalés à zéro, est de 2m; le nombre des ordonnées à 

 calculer est, dans ce cas, pair. 



On a alors pour déterminer x et 11 les 2m équations suivantes 



B t + Ik+ %>+■•■ + *m= 1 • 



*,*■«!+ rt+ * 3 4 iü 8 -f •••+ œjZ m =i(ïf . 



Si l'on résoud de (20) x 2 et H, on obtient les carrés des abscis- 

 ses œ Xi x 2 ,...x tn , pour lesquelles les ordonnées y ±iJ y ±2 , y±3,...y ±lll 

 doivent être calculées de (13) et pour H les valeurs qui doivent 

 être substituées dans (17) pour obtenir la formule pour i 4 , exprimées 

 dans y ±u y±29 . . , y±m . 



A cet effet on suppose dans les §§ 26 et 27 (où la solution de 

 x 2 et 11 d'équations comme celles sub (20) est donnée en général) 



d=0, k=2', c = o, v = m et u v = - —— 0) 2p et dans § 28 : 



2p -\~ 1 ù 



r = 2m + 1, A = 2, £ =1, B t = 2 2 /S;, ^ 2 == 2 4 £ 2 , . . .i? m = 

 = 2 2 "'# m , alors on trouve que les carrés x 2 , x 2 ,. ■ .<# m 2 de (20) 

 sont les racines de l'équation (voir (71)) 



(xY — $ (^r- 1 +...+<— i) m a m = o 



où, en vertu de (74) 



(20) 



1 ) Toutes les formules citées dans ce § sont développées dans notre ouvrage: Valeur 

 approximative d'une intégrale définie. Paris. Gauthier- Villars. 1905. 



2 ) Voyez Carl Friedrich Gauss Werke. Dr i lier Band. p. 165 et suiv. Heraus- 

 gegeben von der Künigl. Gesellschaft der Wcssenscliaften zu Gôttingen. 1866. 



