(SPÉCIALEMENT DE GAUSS) ETC. 15 



(27) 



"3. x .p == ^3.! 





V r 2 



^l.i.p * "'p 5 



^.x.p • ^p > 



Cf et 



^ m— 2.j .p ~ ~ ^m- 



-o. z 

 2., 



,s> r 2 



^m— 4.] .p • ^p 



S r 2 



"m— 3.j.p • "sp 



Gauss donne les valeurs numériques de x et R, dont il est question 

 sub (17), pour 1 à 7 ordonnées inclusivement, en 16 décimales 

 exactes (voyez note 2, p. 12). M. R. Radatj a encore calculé ces 

 valeurs pour 8, 9 et 10 ordonnées en 10 décimales (Voyez R. 

 Radau, Etude sur les formules d" approximation qui servent à cal- 

 culer la valeur numérique d'une intégrale définie, dans le Journal 

 de Mathématiques pures et appliquées. 3 e série. Tome sixième, 1880). 

 Dans la Table A à la fin de ce travail-ci, on les trouve pour 2 

 jusque 10 ordonnées en 16 décimales. 



§ 12. De toutes les formules d'approximation, celles de Gauss 

 donnent les résultats les plus exacts, pourvu qu'on puisse substituer 

 une série de la premiere classe à la fonction sous le signe de 

 l'intégrale en question; elles exigent cependant, même lorsqu'on 

 applique un petit nombre d'ordonnées , des calculs extrêmement 

 longs, où peuvent aisément se glisser des fautes de calcul *). 



Gauss suppose qu'en appliquant ses formules, les longueurs des 

 abscisses seront toujours exprimées en 16 décimales, puisque ce 

 n'est que lorsque x compte un nombre suffisant de décimales, que 

 l'on peut être assuré qu'en appliquant sa méthode les premiers 2w, 

 éventuellement les premiers (2m — 1) termes de l'erreur JS dispa- 

 raissent de (19). Si on applique les formules de Gauss et si, dans 

 les calculs des y cle y (ai), f(x) ou ^ (x) sub (1), (4) ou (13), les 

 longueurs des abscisses sont exprimées en moins de 16 décimales 

 et si pour R on admet cependant la môme valeur, que celle qui 

 s'offre dans les formules de Gauss (Table A), alors il se peut aisé- 

 ment que les coefficients de quelques-uns des termes avec A 2 jus- 

 que A /itn _ 2 inclusivement ne soient pas assez proches de zéro, auquel 

 cas l'inexactitude de I ± serait sensiblement plus grande qu'on ne 

 le déduirait de la formule. 



*) Lobatto (Calcul intégral, p. 442) dit à ce sujet: „La méthode d'approximation 

 d'après Gauss présente, quant au degré d'exactitude, des avantages évidents et est pré- 

 férable à celle de Newton et de Cotes. Il est seulement regrettable que cette méthode 

 plus correcte comporte des calculs assez compliqués, qui rendent assez difficile son appli- 

 cation." 



