20 ÉTUDE SUR LES FORMULES 



tent aussi il est vrai, tandis que dans (31) ils ne paraissent plus; 

 mais ces termes ont dans (34) des coefficients numériques si petits, 

 que leur valeur totale n'a pas d'importance en comparaison de la 

 valeur totale des termes avec A l2 , A u et A iG , 'dont les coefficients 

 numériques sont respectivement plus de 6, 45 et 22 millions de 

 fois plus grands que ceux des termes avec A 6 , A 8 et A i0 et ce 

 n'est que dans les séries qui convergent extrêmement fort que les 



relations — , — ^ et — ^ peuvent se rapprocher de celles dont il 



-"12 "14 "16 



est question ici. On obtient alors aussi, comme il résulte de (39) 

 et (40), pour l'intégrale donnée, selon les deux formules (31) et 

 (34) une même approximation, concordante jusque dans vingt déci- 

 males. Par conséquent, pour des séries qui ne sont pas très forte- 

 ment convergentes et, à plus forte raison, pour des séries faiblement 

 convergentes, l'exactitude maximum, pour autant que celle-ci puisse 

 être atteinte avec six ordonnées, s'obtiendra déjà, et cela à une 

 minime différence près, si x est donné en dix décimales au maxi- 

 mum, lorsque la formule pour I x est établie conformément au § 14. 

 Le surplus d'au moins six décimales, que Gauss propose d'em- 

 ployer toujours, est donc souvent sans utilité, parce que, malgré 

 la grande augmentation des calculs, l'exactitude du résultat n'en 

 est pas appréciablement accrue. 



La chose devient cependant tout autre, quand il s'agit de séries 

 très fortement convergentes. Alors en effet la valeur totale des 

 termes affectés des plus petits indices, peut avoir une influence 

 appréciable sur la dernière décimale dans laquelle I x doit être 

 exprimé. Dans ce cas, en appliquant la méthode de Gauss, on doit, 

 lorsque le nombre des abscisses est assez considérable, exprimer les 

 abscisses en plus de dix, peut-être en seize ou plus de décimales. 



Si l'on veut donc appliquer dans tous les cas les formules de la Table 

 A, pour chaque fonction dont on ne sait pas d'avance si elle peut être 

 exprimée par une série faiblement ou fortement convergente, il faut, 

 pour toute sûreté, que pour chaque fonction, chaque x soit exprimé 

 dans un grand nombre de décimales, mais alors encore il y a lieu 

 de se demander si seize décimales pour x sont bien toujours suffi- 

 santes si on met en compte, par exemple plus de neuf ordonnées. 



Le fait, qu'on ne peut pas d'avance juger définitivement com- 

 bien de décimales il faut prendre pour x pour réduire les termes 

 avec A 2 jusqu'à A /ltll _ 2 inclusivement, de telle façon que leur valeur 

 totale ne puisse plus avoir d'influence appréciable sur la valeur de 

 / 4 , ce lait n'est pas un des moindres inconvénients de la méthode 

 Gauss et on est par conséquent, pour toute sûreté, obligé en 



