(SPÉCIALEMENT DE GAUSS) ETC. 27 



Détermination de l'exactitude d'une valeur approximative. 



§ 21. Dans le calcul de la valeur approximative d'une integrale 

 définie, il est généralement nécessaire de savoir jusqu'à quelle figure 

 (chiffre ou zéro) cette valeur est exacte. 



A cet effet, on peut recourir à deux formules, qui dans la 

 Table A (ou dans la Table B) se suivent immédiatement. Nous 

 représentons ces formules, pour les distinguer l'une de l'autre, par 

 J i et I 2 \ la dernière étant arrangée pour plus d'ordonnées que la 

 première, est par conséquent plus exacte que l'autre, de sorte que, 

 à la série ininterrompue de figures égales, comptées à partir du 

 premier chiffre, que les résultats calculés d'après les deux formules 

 pour I± et I 2 ont en commun, on peut conclure à une valeur pour 

 I x qui est exacte jusqu'à la dernière de ces figures égales. Cette 

 détermination de l'exactitude exige il est vrai le calcul de deux 

 formules avec des ordonnées toutes différentes. C'est d'ailleurs là 

 la voie qu'on doit suivre, lorsqu'on fait usage des formules de 

 Gauss ; pour les formules de la Table B, on peut exécuter un cal- 

 cul plus commode. 



Notamment il est plus simple de calculer pour I x une des for- 

 mules de la Table B et de rendre plus faciles les calculs pour 1 2 

 en employant pour I 2 les mêmes ordonnées (pie pour I x en y 

 adjoignant deux nouvelles. 



Si nous admettons que, dans la formule à développer pour I 2 , 

 on attribue aux (m — 1) abscisses x ± , œ 2 > œ s> - - - œ m-\> ^ es urines 

 valeurs que dans la formule pour I if il faut alors encore détermi- 

 ner les valeurs des m grandeurs 11 et l'abscisse inconnue œ m , donc 

 en tout (m-\-l) inconnues. A cet effet nous pouvons dans (19) 

 égaler à zéro les coefficients des premiers (w-|-l) termes de B, 

 chacun en particulier, et, des équations ainsi formées, résoudre les 

 (m -\- 1) inconnues qui en même temps satisfont à ces (m-\-l) 

 équations. Nous avons 



«1+ A + J%+...+ ^„=1 2 I 



X{ li x -\- 0C 2 B 2 -\- a?3" , Xt 3 -(- . . . -j- X m JS> m = -3 (g- ; (Aft) 



«,*» iü, + *.ƒ'" R 2 + xf B 3 + . . . + *„*" R m = ^(If ". I 



Si, dans (66) et (69), nous posons d= 0, k = 2, c = 0, v = m 

 et u p = 2^m (jf p , on trouve de (66) le même groupe d'équations, 

 que celui sub (48) et par conséquent pour ces équations vaut, d'après 

 (68) l'égalité 



