﻿10 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  raaklijnen, 
  die 
  uit 
  de 
  snijpunten 
  van 
  cti 
  met 
  c 
  x 
  2 
  kunnen 
  getrokken 
  

   worden, 
  vallen 
  nu 
  te 
  zamen, 
  het 
  dubbelpunt 
  wordt 
  alzoo 
  een 
  keer- 
  

   punt; 
  laat 
  men 
  om 
  deze 
  bijzonder 
  gelegen 
  rechte 
  a 
  j 
  het 
  vlak 
  cc 
  x 
  weder 
  

   draaien, 
  dan 
  is 
  er 
  een 
  dezer 
  vlakken, 
  dat 
  juist 
  in 
  dit 
  raakpunt 
  

   van 
  a 
  y 
  met 
  c 
  2 
  raakt. 
  

  

  Verder 
  zijn 
  er 
  vier 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  het 
  stelsel 
  p 
  1? 
  die 
  

   Oi 
  2 
  raken, 
  op 
  deze 
  vier 
  lijnen 
  kan 
  men 
  de 
  genoemde 
  construction 
  

   toepassen. 
  Uit 
  dit 
  alles 
  volgt 
  : 
  

  

  Er 
  zijn 
  op 
  de 
  dubbelrechte 
  d 
  vier 
  punten, 
  zoodanig 
  dat 
  de 
  ruim- 
  

   tekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  op 
  O 
  1 
  * 
  dit 
  punt 
  tot 
  keerpunt 
  heb- 
  

   ben; 
  in 
  elk 
  dezer 
  punten 
  is 
  er 
  een 
  dezer 
  krommen, 
  die 
  d 
  tot 
  raaklijn 
  

   in 
  het 
  keerpunt 
  heeft. 
  

  

  Laat 
  verder 
  a 
  L 
  getrokken 
  zijn 
  door 
  een 
  der 
  raakpunten 
  van 
  een 
  

   rechte 
  bi 
  van 
  het 
  stelsel 
  q\ 
  met 
  O 
  2 
  . 
  Legt 
  men 
  dan 
  het 
  vlak 
  «i 
  door 
  

   di 
  en 
  bi, 
  dan 
  is 
  b 
  x 
  een 
  raaklijn 
  van 
  c 
  x 
  2 
  in 
  het 
  snijpunt 
  van 
  a 
  x 
  en 
  

   b 
  x 
  . 
  In 
  het 
  dubbelpunt 
  der 
  kromme 
  valt 
  dus 
  tevens 
  een 
  raakpunt 
  

   van 
  de 
  kromme 
  met 
  d 
  ; 
  alzoo 
  zullen 
  er 
  in 
  dit 
  dubbelpunt 
  vier 
  op- 
  

   volgende 
  punten 
  liggen; 
  de 
  raaklijn 
  d 
  in 
  dit 
  punt 
  is 
  dus 
  tevens 
  

   raaklijn 
  in 
  een 
  buigpunt. 
  Deze 
  bijzondere 
  punten 
  zijn 
  in 
  het 
  geheel 
  

   ten 
  getale 
  van 
  vier. 
  

  

  9. 
  Terwijl 
  het 
  geval 
  a 
  zich 
  bezig 
  hield 
  met 
  de 
  doorsneden 
  van 
  

   O* 
  met 
  kegelvlakken, 
  zoo 
  zullen 
  nu 
  de 
  doorsneden 
  met 
  vlakkenparen 
  

   nader 
  beschouwd 
  worden. 
  Vooreerst 
  is 
  het 
  dadelijk 
  zichtbaar, 
  dat 
  

   een 
  vlakkenpaar 
  a 
  u 
  van 
  het 
  stelsel 
  O 
  4, 
  snijdt 
  in 
  een 
  kegelsnede, 
  

   liggende 
  in 
  het 
  door 
  d 
  gaande 
  vlak 
  a 
  en 
  een 
  kromme 
  van 
  den 
  vierden 
  

   graad 
  met 
  dubbelpunt, 
  liggende 
  in 
  het 
  vlak 
  a 
  . 
  Beide 
  krommen 
  kun- 
  

   nen 
  evenwel 
  bijzondere 
  vormen 
  verkrijgen 
  of 
  standen 
  innemen; 
  deze 
  

   zullen 
  nu 
  onderzocht 
  worden. 
  

  

  De 
  kromme 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  kan, 
  behalve 
  het 
  dubbelpunt 
  in 
  

   rf, 
  nog 
  een, 
  twee 
  of 
  drie 
  dubbelpunten 
  bezitten. 
  In 
  het 
  laatste 
  geval 
  

   gaat 
  zij 
  over 
  in 
  twee 
  kegelsneden. 
  De 
  kegelsnede 
  in 
  a 
  kan 
  in 
  twee 
  

   elkander 
  snijdende 
  rechten 
  overgaan. 
  Tusschen 
  beide 
  vormen 
  bestaat, 
  

   zooals 
  blijken 
  zal, 
  verband. 
  De 
  vormen 
  der 
  vlakke 
  doorsnede 
  met 
  

   twee 
  of 
  drie 
  dubbelpunten 
  hebben 
  betrekking 
  op 
  enkelvoudige 
  of 
  

   tweevoudige 
  raakvlakken 
  ; 
  hun 
  aantal 
  bedraagt 
  dus 
  een 
  oneindigheid 
  

   van 
  de 
  tweede 
  of 
  eerste 
  orde; 
  gaat 
  daarentegen 
  de 
  snijkromme 
  in 
  

   twee 
  elkander 
  snijdende 
  kegelsneden 
  over, 
  dan 
  is 
  het 
  snijvlak 
  een 
  

   drievoudig 
  raakvlak; 
  het 
  aantal 
  dezer 
  vlakken 
  is 
  beperkt. 
  Zij 
  nu 
  

   (p 
  zoodanig 
  drievoudig 
  raakvlak 
  en 
  a 
  2 
  en 
  b 
  2 
  de 
  daarin 
  gelegen 
  

   kegelsneden, 
  die 
  elkander 
  in 
  het 
  op 
  d 
  gelegen 
  punt 
  A 
  en 
  in 
  nog 
  

   drie 
  andere 
  punten 
  snijden 
  Nu 
  moet 
  een 
  dezer 
  twee 
  kegelsne- 
  

   den 
  dooi' 
  een 
  rechte 
  op 
  O* 
  gesneden 
  worden 
  ; 
  zij 
  dit 
  bij 
  a 
  2 
  het 
  

  

  