﻿16 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDKN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  raakpunten 
  van 
  kegelsneden. 
  Daar 
  de 
  snij 
  kromme 
  k^ 
  slechts 
  twee 
  

   dubbel-projecteerende 
  kegelvlakken 
  bezit, 
  behalve 
  den 
  kegel, 
  die 
  A 
  x 
  

   tot 
  top 
  heeft, 
  vervallen 
  er 
  twee 
  groepen 
  van 
  tweevoudig 
  rakende 
  

   ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad. 
  De 
  vroeger 
  verkregen 
  uitkom- 
  

   sten 
  geven 
  dus 
  nu 
  aanleiding 
  tot 
  de 
  volgende 
  wijzigingen. 
  

  

  Onder 
  de 
  krommen 
  zonder 
  dubbelpunt 
  zijn 
  er 
  vier, 
  die 
  d 
  in 
  vier 
  

   opvolgende 
  punten 
  snijden. 
  Deze 
  vier 
  undulatiepunten 
  liggen 
  bui- 
  

   ten 
  A. 
  

  

  In 
  den 
  krommenbundel, 
  die 
  een 
  bepaald 
  punt 
  van 
  d 
  tot 
  dubbel- 
  

   punt 
  heeft, 
  zijn 
  er 
  twee, 
  die 
  d 
  nog 
  in 
  een 
  ander 
  punt 
  buiten 
  A 
  

   raken. 
  

  

  Er 
  zijn 
  buiten 
  A 
  twee 
  punten 
  op 
  zoodanig 
  dat 
  de 
  daardoor 
  

   heengaande 
  bundel 
  krommen 
  dit 
  punt 
  als 
  keerpunt 
  van 
  alle 
  krom- 
  

   men 
  heeft. 
  

  

  Er 
  zijn 
  buiten 
  A 
  twee 
  punten 
  op 
  d 
  1 
  zoodanig 
  dat 
  d 
  een 
  raaklijn 
  

   is 
  in 
  het 
  dubbelpunt 
  der 
  kromme, 
  terwijl 
  d 
  in 
  deze 
  punten 
  vier 
  

   samenvallende 
  punten 
  met 
  de 
  kromme 
  gemeen 
  heeft. 
  

  

  Bovendien 
  gaat 
  er 
  uit 
  het 
  punt 
  A 
  nog 
  een 
  aantal 
  krommen, 
  die 
  

   een 
  oneindigheid 
  van 
  de 
  tweede 
  orde 
  vormen 
  en 
  thans 
  nader 
  moeien 
  

   worden 
  beschouwd. 
  

  

  Met 
  deze 
  krommen 
  komen 
  in 
  R 
  x 
  de 
  kegelsneden 
  door 
  A 
  x 
  overeen 
  ; 
  

   deze 
  laatste 
  raken 
  K 
  l 
  2 
  1 
  alzoo 
  zullen 
  alle 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  

   zesden 
  graad 
  door 
  A\ 
  de 
  dubbellijn 
  d 
  in 
  dit 
  punt 
  raken. 
  De 
  snij- 
  

   vlakken 
  in 
  R\ 
  die 
  de 
  kegelsneden 
  doen 
  ontstaan 
  kunnen 
  evenwel 
  

   bijzondere 
  standen 
  hebben, 
  waarvan 
  de 
  voornaamste 
  zullen 
  volgen. 
  

  

  1. 
  Het 
  vlak 
  a 
  x 
  kan 
  gebracht 
  worden 
  door 
  A 
  x 
  en 
  een 
  raaklijn 
  van 
  

   de 
  snij 
  kromme 
  van 
  0^ 
  en 
  K 
  x 
  z 
  . 
  

  

  2. 
  a 
  x 
  gaat 
  door 
  een 
  raaklijn 
  van 
  k^ 
  in 
  het 
  dubbelpunt 
  A 
  x 
  . 
  

  

  3. 
  ct 
  x 
  gaat 
  door 
  een 
  raaklijn 
  aan 
  k 
  x 
  in 
  A 
  x 
  en 
  raakt 
  aan 
  den 
  

   dubbelprojecteerenden 
  kegel 
  van 
  k^, 
  die 
  A 
  x 
  tot 
  top 
  heeft. 
  

  

  4. 
  a 
  x 
  gaat 
  door 
  de 
  beschrijvende 
  rechte 
  a 
  x 
  van 
  het 
  stelsel 
  p 
  x 
  , 
  

   die 
  door 
  A 
  x 
  gaat. 
  

  

  5. 
  a 
  x 
  gaat 
  door 
  een 
  der 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  C^ 
  2 
  , 
  die 
  door 
  

   Ai 
  gaat. 
  

  

  6. 
  a 
  x 
  gaat 
  over 
  in 
  het 
  gemeenschappelijk 
  raakvlak 
  van 
  O 
  x 
  2 
  en 
  K 
  x 
  2 
  . 
  

   De 
  eerste 
  drie 
  standen 
  doen 
  zien, 
  dat 
  er 
  onder 
  de 
  krommen, 
  die 
  

  

  d 
  in 
  A 
  raken, 
  een 
  oneindig 
  aantal 
  zijn, 
  die 
  d 
  nog 
  in 
  een 
  ander 
  

   punt 
  raken 
  en 
  ook 
  een 
  oneindig 
  aantal, 
  die 
  A 
  tot 
  buigpunt 
  hebben 
  ; 
  

   er 
  zijn 
  verder 
  twee 
  dezer 
  krommen, 
  die 
  A 
  tot 
  undulatiepunt 
  hebben. 
  

  

  De 
  vierde 
  stand 
  geeft 
  die 
  krommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad, 
  welker 
  

   keerpunt 
  in 
  A 
  gelegen 
  is 
  ; 
  zij 
  zullen 
  in 
  het 
  algemeen 
  d 
  nog 
  in 
  twee 
  

   punten 
  snijden, 
  twee 
  daarvan 
  zullen 
  d 
  raken. 
  

  

  