﻿20 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  dubbelrechte 
  d 
  één 
  standvastig 
  en 
  een 
  veranderlijk 
  raakvlak. 
  Het 
  stand- 
  

   vastige 
  raakvlak 
  snijdt 
  O* 
  in 
  twee 
  rechten, 
  waarvan 
  er 
  een 
  langs 
  d 
  

   valt. 
  Daar 
  b-f 
  geen 
  der 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  het 
  stelsel 
  p-, 
  tot 
  

   raaklijnen 
  heeft, 
  zijn 
  er 
  geen 
  klempunten, 
  behalve 
  de 
  punten 
  van 
  d, 
  

   die 
  overeenkomen 
  met 
  de 
  snijpunten 
  van 
  b] 
  en 
  bi 
  3 
  . 
  In 
  deze 
  punten 
  

   valt 
  het 
  standvastige 
  raakvlak 
  van 
  met 
  het 
  veranderlijke 
  samen, 
  

   alzoo 
  zal 
  ook 
  op 
  d 
  het 
  standvastige 
  raakvlak 
  van 
  O 
  4, 
  tevens 
  het 
  

   raakvlak 
  der 
  beide 
  klempunten 
  zijn. 
  Er 
  zijn 
  nog 
  twee 
  klemvlakken, 
  

   daar 
  b-^ 
  door 
  twee 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  het 
  stelsel 
  g 
  l 
  geraakt 
  

   wordt. 
  

  

  De 
  stand 
  der 
  krommen 
  van 
  den 
  zesden 
  en 
  derden 
  graad 
  op 
  ö 
  4 
  is 
  

   weder 
  uit 
  dien 
  van 
  stand 
  a 
  en 
  b 
  af 
  te 
  leiden 
  ; 
  slechts 
  kunnen 
  eenige 
  

   bijzondere 
  opmerkingen 
  gemaakt 
  worden 
  over 
  de 
  krommen, 
  die 
  dooi- 
  

   de 
  beide 
  klempunten 
  gaan. 
  Zij 
  een 
  der 
  snijpunten 
  van 
  b\ 
  en 
  b-f 
  

   en 
  het 
  overeenkomstige 
  punt 
  op 
  d 
  A 
  j 
  gaat 
  men 
  nu 
  de 
  verschillende 
  

   standen 
  van 
  een 
  snijvlak 
  door 
  Aj 
  na 
  en 
  vergelijkt 
  men 
  met 
  de 
  ont- 
  

   staande 
  kegelsneden 
  de 
  overeenkomstige 
  ruimtekrommen 
  op 
  O*, 
  dan 
  

   komt 
  men 
  tot 
  de 
  navolgende 
  uitkomsten. 
  

  

  Het 
  punt 
  A 
  kan 
  als 
  een 
  dubbel 
  klempunt 
  beschouwd 
  worden 
  ; 
  alle 
  

   ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  door 
  A 
  raken 
  d 
  in 
  A 
  1 
  onder 
  

   deze 
  zijn 
  er 
  een 
  oneindig 
  aantal, 
  die 
  d 
  nog 
  in 
  een 
  ander 
  punt 
  raken. 
  

   Verder 
  is 
  er 
  een 
  oneindig 
  aantal 
  dezer 
  krommen, 
  die 
  bij 
  A 
  d 
  in 
  

   drie 
  opvolgende 
  punten 
  snijden 
  en 
  eene, 
  die 
  bij 
  A 
  d 
  in 
  vier 
  opvolgende 
  

   punten 
  snijdt. 
  Door 
  A 
  gaan 
  een 
  oneindig 
  aantal 
  dezer 
  krommen, 
  die 
  

   A 
  tot 
  keerpunt 
  hebben 
  ; 
  verder 
  zal 
  er 
  een 
  kubische 
  ruimtekromme 
  

   kunnen 
  geconstrueerd 
  worden, 
  die 
  in 
  A 
  d 
  tot 
  raaklijn 
  heeft. 
  

  

  De 
  stand 
  f 
  eindelijk 
  kan 
  beschouwd 
  worden 
  als 
  een 
  bijzonder 
  

   geval 
  van 
  den 
  stand 
  d. 
  De 
  beschrijvende 
  rechte 
  bi 
  van 
  het 
  stelsel 
  qi 
  

   is 
  nu 
  in 
  een 
  raaklijn 
  aan 
  èj 
  3 
  overgegaan 
  ; 
  de 
  beide 
  dubbele 
  klem- 
  

   punten 
  van 
  het 
  voorgaande 
  geval 
  zijn 
  in 
  een 
  enkel 
  bijzonder 
  punt 
  

   B 
  samengevloeid; 
  dit 
  punt 
  moet 
  dus 
  als 
  een 
  viervoudig 
  klempunt 
  

   beschouwd 
  worden. 
  Even 
  als 
  bij 
  den 
  vorigen 
  stand 
  ontstaat 
  er 
  nu 
  

   een 
  standvastig 
  raakvlak 
  voor 
  elk 
  punt 
  van 
  d\ 
  terwijl 
  er 
  slechts 
  

   een 
  klem 
  vlak 
  behalve 
  dit 
  standvastige 
  raakvlak 
  is. 
  

  

  17. 
  De 
  standen 
  g 
  en 
  h 
  geven 
  eveneens 
  aanleiding 
  tot 
  het 
  ontstaan 
  

   van 
  twee 
  dubbele 
  klempunten 
  of 
  een 
  viervoudig 
  klempunt 
  ; 
  ver- 
  

   geleken 
  met 
  de 
  vorige 
  twee 
  standen 
  zijn 
  er 
  evenwel 
  eenige 
  afwij- 
  

   kingen, 
  die 
  nader 
  zullen 
  beschouwd 
  worden. 
  

  

  In 
  de 
  eerste 
  plaats 
  de 
  snijding 
  van 
  AV 
  2 
  en 
  0^ 
  volgens 
  twee 
  

   kegelsneden 
  en 
  d 
  ] 
  z 
  } 
  die 
  elkaar 
  in 
  de 
  punten 
  A 
  x 
  en 
  B 
  l 
  snijden, 
  

   beschouwende, 
  ziet 
  men, 
  dat 
  er 
  nu 
  geen 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  

   Ki 
  2 
  meer 
  zijn, 
  die 
  de 
  snijkromme 
  raken 
  ; 
  hieruit 
  volgt, 
  dat 
  er, 
  buiten 
  

  

  