﻿DUBBELT* 
  ECHTE 
  DOOH 
  MIDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  21 
  

  

  de 
  dubbele 
  klempunten 
  A 
  en 
  B, 
  geen 
  klempunten 
  meer 
  zijn 
  ; 
  terwij] 
  

   de 
  raakvlakken 
  dezer 
  beide 
  punten 
  kleurvlakken 
  zijn 
  en 
  er 
  ook 
  

   Luiten 
  deze 
  geen 
  andere 
  zijn. 
  Deze 
  laatste 
  kleurvlakken 
  kunnen 
  

   dus 
  dubbele 
  kleurvlakken 
  genoemd 
  worden. 
  In 
  onderscheiding 
  der 
  

   standen 
  r 
  tot 
  /' 
  is 
  er 
  evenwel 
  geen 
  bijzondere 
  ligging 
  der 
  rechte 
  

   lijnen 
  op 
  te 
  merken. 
  

  

  Onder 
  de 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  zijn 
  er 
  geen 
  die 
  

   d 
  in 
  drie 
  opvolgende 
  punten 
  snijden; 
  de 
  beide 
  dubbelprojecteerende 
  

   kegels 
  van 
  (V 
  2 
  en 
  f/j 
  2 
  doen 
  twee 
  bundels 
  krommen 
  ontstaan, 
  die 
  (/ 
  

   in 
  twee 
  punten, 
  buiten 
  A 
  en 
  B 
  gelegen, 
  raken. 
  

  

  Legt 
  men 
  een 
  willekeurig 
  vlak 
  door 
  A 
  X) 
  dan 
  komt 
  daarmede 
  een 
  

   oppervlak 
  van 
  het 
  stelsel 
  overeen, 
  dat 
  O 
  snijdt 
  volgens 
  een 
  ruimte- 
  

   kromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad, 
  die 
  d 
  in 
  A 
  raakt 
  ; 
  wordt 
  het 
  vlak 
  door 
  

   een 
  raaklijn 
  aan 
  Cj 
  2 
  of 
  d* 
  gelegd, 
  dan 
  wordt 
  A 
  een 
  buigpunt 
  der 
  

   kromme, 
  wordt 
  het 
  door 
  de 
  beschrijvende 
  rechte 
  van 
  het 
  stelsel 
  pj, 
  die 
  

   door 
  A 
  l 
  gaat, 
  gelegd 
  dan 
  ontstaat 
  er 
  een 
  kromme, 
  die 
  A 
  tot 
  keer- 
  

   punt 
  heeft, 
  eindelijk 
  zal 
  het 
  gemeenschappelijke 
  raakvlak 
  van 
  O, 
  2 
  

   en 
  in 
  A\ 
  aanleiding 
  geven 
  tot 
  twee 
  kubische 
  ruimtekrommen, 
  

  

  die 
  elkander 
  in 
  A 
  raken 
  met 
  d 
  als 
  gemeenschappelijke 
  raaklijn. 
  

   Verder 
  ziet 
  men, 
  dat 
  er 
  een 
  bundel 
  krommen 
  van 
  den 
  zesden 
  

   graad 
  ontstaat, 
  die 
  d 
  in 
  A 
  en 
  B 
  raken. 
  Zij 
  komen 
  overeen 
  met 
  

   de 
  kegelsneden, 
  op 
  Of> 
  bepaald 
  door 
  vlakken 
  door 
  A 
  l 
  B\ 
  ge- 
  

   bracht. 
  Onder 
  die 
  vlakken 
  door 
  A 
  x 
  B\ 
  behooren 
  de 
  vlakken 
  der 
  

   kegelsneden 
  Ci 
  2 
  en 
  c?i 
  2 
  , 
  daar 
  de 
  hierdoor 
  ontstane 
  krommen 
  een 
  on- 
  

   eindig 
  aantal 
  punten 
  met 
  d 
  gemeen 
  hebben, 
  zoo 
  splitsen 
  zij 
  zich 
  

   in 
  d 
  en 
  een 
  ruimtekromme 
  van 
  den 
  vijfden 
  graad 
  ; 
  er 
  liggen 
  dus 
  

   op 
  O 
  4 
  twee 
  dezer 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  vijfden 
  graad. 
  

  

  Bij 
  den 
  stand 
  h 
  worden 
  de 
  beide 
  kegelsneden 
  rakende 
  aan 
  el- 
  

   kander; 
  er 
  ontstaat 
  een 
  viervoudig 
  klempunt 
  zonder 
  bijzondere 
  lig- 
  

   gingen 
  van 
  rechten 
  ; 
  in 
  dit 
  punt 
  is 
  er 
  een 
  raakvlak, 
  dat 
  O* 
  snijdt 
  

   volgens 
  een 
  kegelsnede, 
  die 
  d 
  aldaar 
  raakt. 
  De 
  twee 
  ruimtekrom- 
  

   men 
  van 
  den 
  vijfden 
  graad 
  zullen 
  ook 
  nu 
  ontstaan 
  en 
  raken 
  elkan- 
  

   der 
  in 
  de 
  drie 
  aan 
  het 
  viervoudige 
  klempunt 
  toegevoegde 
  punten. 
  

   Er 
  is 
  verder 
  een 
  bundel 
  krommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad, 
  die 
  allen 
  

   het 
  viervoudige 
  klempunt 
  tot 
  undulatiepunt 
  hebben. 
  

  

  18. 
  Uit 
  de 
  behandelde 
  standen 
  kunnen 
  de 
  eigenschappen 
  dei- 
  

   oppervlakken, 
  die 
  uit 
  de 
  standen 
  i, 
  /, 
  k, 
  / 
  ontstaan 
  afgeleid 
  worden, 
  

   om 
  welke 
  reden 
  deze 
  hier 
  nu 
  in 
  algemeene 
  trekken 
  behandeld 
  zul- 
  

   zel 
  worden. 
  

  

  Men 
  besehouwe 
  eerst 
  den 
  stand 
  /. 
  Laten 
  de 
  rechten 
  der 
  stel- 
  

   sels 
  pi 
  en 
  01, 
  volgens 
  welke 
  K 
  x 
  2 
  en 
  O 
  x 
  2 
  elkander 
  snijden, 
  a 
  x 
  en 
  b\ 
  

   zijn 
  en 
  de 
  kegelsnede 
  n 
  2 
  . 
  Brengt 
  men 
  dezen 
  stand 
  in 
  verband 
  

  

  