﻿24 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN" 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  in 
  No. 
  1 
  1 
  vermelde 
  bijzondere 
  gevallen, 
  waaruit 
  blijken 
  kan, 
  dat 
  

   het 
  aantal 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  niet 
  beperkt 
  is 
  tot 
  die 
  kegel- 
  

   snedenvlakken, 
  die 
  tot 
  vlakkenparen 
  van 
  het 
  stelsel 
  behooren. 
  

  

  Neemt 
  men, 
  zooals 
  bij 
  den 
  stand 
  / 
  ondersteld 
  wordt, 
  aan, 
  dat 
  de 
  

   overstaande 
  zijden 
  cti 
  en 
  C\ 
  samenvallen, 
  dan 
  is 
  elk 
  vlak 
  door 
  a 
  x 
  

   een 
  raakvlak, 
  zoowel 
  van 
  als 
  van 
  O-f 
  en 
  wel 
  in 
  hetzelfde 
  punt. 
  

   Denkt 
  men 
  dus 
  zulk 
  een 
  vlak 
  a\ 
  geconstrueerd, 
  dan 
  wordt 
  K-f 
  ge- 
  

   sneden 
  volgens 
  een 
  kromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  Ci 
  6 
  , 
  die 
  tot 
  

   drievoudige 
  raaklijn 
  heeft 
  en 
  een 
  tweede 
  beschrijvende 
  rechte 
  van 
  

   Ki 
  z 
  tot 
  enkelvoudige 
  raaklijn. 
  Hieruit 
  volgt, 
  dat 
  alle 
  raaklijnen 
  van 
  

   -^i 
  6 
  , 
  die 
  in 
  de 
  punten 
  van 
  tevens 
  raaklijnen 
  zijn 
  van 
  Oi 
  2 
  , 
  samen- 
  

   vallen 
  met 
  de 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  i^ 
  2 
  , 
  die 
  tot 
  het 
  stelsel 
  q 
  x 
  

   behooren; 
  zij 
  vallen 
  in 
  R 
  dus 
  langs 
  d. 
  Drie 
  der 
  vlakken 
  door 
  « 
  x 
  

   zijn 
  tevens 
  omhullende 
  vlakken 
  van 
  i£i 
  6 
  , 
  alle 
  hierin 
  gelegen 
  lijnen 
  

   zijn 
  dus 
  raaklijnen 
  van 
  K-f 
  ; 
  in 
  deze 
  drie 
  vlakken 
  kan 
  men 
  dus 
  door 
  

   het 
  raakpunt 
  met 
  O 
  x 
  2 
  een 
  bundel 
  raaklijnen 
  trekken. 
  De 
  wijzigin- 
  

   gen, 
  die 
  alzoo 
  intreden, 
  zijn 
  de 
  navolgende 
  : 
  

  

  Wanneer 
  en 
  C\ 
  samenvallen 
  vallen 
  ook 
  de 
  drievoudige 
  punten 
  

   A 
  en 
  C 
  samen 
  ; 
  de 
  dubbelrechte 
  d 
  wordt 
  een 
  drievoudige 
  rechte 
  

   van 
  den 
  raakkegel 
  van 
  den 
  derden 
  graad, 
  die 
  alzoo 
  triplanaar 
  wordt 
  ; 
  

   de 
  drie 
  vlakken, 
  waarin 
  de 
  raakkegel 
  zich 
  verdeelt, 
  komen 
  overeen 
  

   met 
  de 
  drie 
  vlakken 
  door 
  a 
  h 
  die 
  K^ 
  6 
  raken. 
  O* 
  bezit 
  buitendien 
  

   de 
  twee 
  standvastige 
  raakvlakken 
  ft 
  en 
  d. 
  De 
  zes 
  rechten 
  uit 
  A 
  

   vallen 
  samen 
  met 
  die 
  uit 
  C 
  ; 
  er 
  zijn 
  alzoo 
  drie 
  vlakken, 
  die 
  Op- 
  

   snijden 
  volgens 
  twee 
  rechten. 
  Verder 
  vallen 
  twee 
  der 
  rechten 
  met 
  

   d 
  samen 
  en 
  er 
  zijn 
  nog 
  twee, 
  willekeurig 
  op 
  O 
  4 
  gelegen. 
  Alle 
  

   vlakken 
  door 
  d 
  snijden 
  O* 
  volgens 
  een 
  kegelsnede, 
  die 
  d 
  in 
  A 
  

   raakt. 
  

  

  Ook 
  in 
  dit 
  geval 
  zijn 
  een 
  aantal 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  gemak- 
  

   kelijk 
  te 
  construeeren, 
  zij 
  gaan 
  door 
  tweetallen 
  der 
  rechten 
  uit 
  

   A. 
  Yan 
  deze 
  opmerking 
  kan 
  ook 
  partij 
  worden 
  getrokken 
  voor 
  de 
  

   standen 
  c 
  en 
  e. 
  

  

  19. 
  Ten 
  slotte 
  volgt 
  de 
  behandeling 
  der 
  gevallen 
  m, 
  n 
  en 
  o. 
  Als 
  

   het 
  beeldoppervlak 
  0^ 
  het 
  oppervlak 
  raakt 
  volgens 
  een 
  kegel- 
  

   snede 
  Cj 
  2 
  , 
  dan 
  zijn 
  er 
  oneindig 
  veel 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  het 
  

   stelsel 
  pi, 
  zoowel 
  als 
  van 
  het 
  stelsel 
  die 
  0^ 
  raken 
  ; 
  de 
  geheele 
  

   dubbelrechte 
  d 
  is 
  alzoo 
  een 
  keerrechte 
  gew 
  orden 
  en 
  in 
  elk 
  punt 
  van 
  

   d 
  zal 
  er 
  slechts 
  één 
  raakvlak 
  zijn 
  ; 
  in 
  alle 
  vlakken 
  door 
  d 
  zal 
  verder 
  

   de 
  kegelsnede, 
  volgens 
  welke 
  zij 
  O 
  4 
  snijden 
  aan 
  d 
  raken. 
  Met 
  een 
  

   raakvlak 
  aan 
  een 
  punt 
  A 
  van 
  d 
  komt 
  in 
  Bi 
  een 
  raakvlak 
  overeen, 
  

   gebracht 
  door 
  het 
  overeenkomstige 
  punt 
  A 
  x 
  van 
  de 
  kegelsnede 
  c 
  x 
  2 
  . 
  

   Om 
  dit 
  te 
  verkrijgen 
  trekke 
  men 
  door 
  A 
  x 
  de 
  beschrijvende 
  rechte 
  van 
  

  

  