﻿26 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  Door 
  elk 
  der 
  beide 
  drievoudige 
  punten 
  gaan 
  zes 
  rechten, 
  buiten- 
  

   dien 
  snijdt 
  het 
  standvastige 
  raakvlak 
  (i 
  het 
  oppervlak 
  O* 
  nog 
  in 
  een 
  

   rechte 
  met 
  d 
  samenvallende 
  en 
  in 
  eene 
  willekeurig 
  gelegen 
  rechte. 
  

   De 
  gedaanten 
  der 
  krommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  en 
  de 
  eigenschap- 
  

   pen 
  van 
  die 
  van 
  den 
  derden 
  graad 
  zijn 
  uit 
  het 
  voorgaande 
  af 
  te 
  leiden. 
  

  

  Eindelijk 
  grijpt 
  bij 
  den 
  stand 
  o 
  de 
  rakiug 
  van 
  X 
  3 
  en 
  K-f 
  plaats 
  

   volgens 
  twee 
  elkaar 
  snijdende 
  rechten 
  d\ 
  en 
  b 
  h 
  welke 
  tot 
  de 
  stel- 
  

   sels 
  pi 
  en 
  qi 
  behooren. 
  Nu 
  treedt 
  blijkbaar 
  een 
  verbinding 
  van 
  de 
  

   bijzonderheden 
  van 
  l 
  en 
  n 
  op, 
  die 
  aldus 
  kunnen 
  worden 
  samen- 
  

   gevat 
  : 
  

  

  De 
  dubbelrechte 
  d 
  wordt 
  keerrechte 
  ; 
  in 
  elk 
  harer 
  punten 
  heeft 
  zij 
  

   een 
  vast 
  raakvlak 
  fi 
  ; 
  dit 
  vlak 
  ft 
  snijdt 
  0± 
  ' 
  m 
  een 
  rechte, 
  die 
  met 
  d 
  

   samenvalt 
  en 
  in 
  een, 
  die 
  willekeurig 
  gelegen 
  is. 
  Op 
  de 
  keerrechte 
  d 
  

   bevindt 
  zich 
  een 
  bijzonder 
  punt 
  A, 
  ontstaande 
  uit 
  de 
  samenvloeiing 
  van 
  

   twee 
  drievoudige 
  punten 
  ; 
  elk 
  vlak, 
  gaande 
  door 
  d, 
  snijdt 
  O 
  4, 
  volgens 
  

   een 
  kegelsnede, 
  die 
  d 
  in 
  A 
  raakt 
  : 
  het 
  punt 
  A 
  is 
  triplanaar, 
  daar 
  de 
  

   raakkegel 
  zich 
  weder 
  verdeelt 
  in 
  drie 
  vlakken, 
  overeenkomende 
  met 
  

   de 
  drie 
  vlakken 
  door 
  a 
  l7 
  die 
  K-f 
  raken. 
  De 
  rechten 
  zijn, 
  behalve 
  

   de 
  twee 
  bovengenoemde, 
  zes 
  in 
  getal 
  en 
  liggen 
  bij 
  paren 
  in 
  de 
  drie 
  

   raakvlakken, 
  die 
  den 
  raakkegel 
  vervangen. 
  

  

  Aansluitende 
  aan 
  de 
  opmerking, 
  bij 
  stand 
  l 
  gemaakt, 
  blijkt 
  het 
  

   ook 
  in 
  dit 
  geval, 
  dat 
  de 
  rechten 
  door 
  het 
  triplanare 
  punt 
  moeten 
  

   beschouwd 
  worden 
  als 
  twee 
  rechten, 
  die 
  samen 
  zijn 
  gevallen, 
  

   zoodat 
  ook 
  nu 
  vlakken 
  te 
  construeeren 
  zijn, 
  die 
  O* 
  in 
  twee 
  samen- 
  

   vallende 
  rechten 
  snijden. 
  Deze 
  vlakken 
  kan 
  men 
  als 
  bijzondere 
  ge- 
  

   vallen 
  van 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  beschouwen, 
  zoodat 
  het 
  overige 
  

   der 
  doorsnede 
  uit 
  een 
  kegelsnede 
  moet 
  bestaan. 
  Op 
  deze 
  opmerkin- 
  

   gen 
  omtrent 
  de 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  zal, 
  even 
  als 
  op 
  de 
  vroegere 
  

   nog 
  nader 
  worden 
  teruggekomen. 
  

  

  IV. 
  Geval 
  C. 
  

  

  20. 
  In 
  dit 
  hoofdstuk 
  zullen 
  opvolgend 
  de 
  vormen 
  behandeld 
  worden, 
  

   die 
  O 
  4 
  aanneemt, 
  wanneer 
  het 
  oppervlakkenstelsel 
  een, 
  twee 
  of 
  drie 
  

   punten 
  bezit, 
  die 
  aan 
  alle 
  oppervlakken 
  gemeen 
  zijn. 
  Hiertoe 
  be- 
  

   hooren 
  in 
  de 
  eerste 
  plaats 
  de 
  wijzigingen, 
  die 
  intreden, 
  wanneer 
  

   het 
  oppervlakkenstelsel 
  een 
  vast 
  punt 
  A 
  bezit. 
  Alsdan 
  heeft 
  men, 
  

   vergeleken 
  met 
  het 
  algemeene 
  geval, 
  de 
  volgende 
  wijzigingen. 
  

  

  a. 
  Met 
  een 
  punt 
  M 
  zijn, 
  behalve 
  J, 
  nog 
  de 
  punten 
  M, 
  M 
  l 
  , 
  

   M" 
  gekoppeld. 
  

  

  b. 
  Het 
  oppervlak 
  K-f 
  gaat 
  over 
  in 
  een 
  ontwikkelbaar 
  oppervlak 
  

   van 
  de 
  derde 
  klasse 
  en 
  den 
  vierden 
  graad 
  ; 
  dit 
  wordt 
  gevormd 
  door 
  

  

  