﻿D0BB 
  ELRECHTE 
  DOOK 
  MIDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  27 
  

  

  do 
  vlakken, 
  die 
  aan 
  K 
  x 
  z 
  in 
  do 
  punten 
  eoner 
  kubisohe 
  ruimte- 
  

   kromme 
  c 
  x 
  3 
  raken. 
  Tot 
  dit 
  oppervlak 
  moeten 
  tevens 
  gerekend 
  wor- 
  

   den 
  allo 
  vlakken, 
  gebracht 
  door 
  oen 
  rechte 
  a 
  x 
  van 
  het 
  stelsel 
  q 
  x 
  

   die 
  dus 
  c 
  x 
  * 
  in 
  één 
  punt 
  snijdt. 
  Tot 
  de 
  laatste 
  vlakken 
  behoort 
  hot, 
  

   vlak 
  «i, 
  gebracht 
  door 
  het 
  snijpunt 
  van 
  a 
  x 
  en 
  c 
  x 
  z 
  en 
  rakende 
  aan 
  K 
  x 
  2 
  . 
  

  

  c. 
  Het 
  kernoppervlak 
  K 
  l 
  gaat 
  over 
  in 
  con 
  regelvlak 
  van 
  den 
  der- 
  

   den 
  graad 
  X 
  s 
  met 
  d 
  als 
  dubbelrechte 
  en 
  het 
  vlak 
  Ad. 
  A 
  ligt 
  op 
  # 
  3 
  . 
  

  

  d. 
  Met 
  alle 
  vlakken 
  door 
  a 
  x 
  komen 
  vlakkenparen 
  overeen, 
  waarvan 
  

   Ad 
  er 
  een 
  is; 
  zij 
  vormen 
  een 
  bundel, 
  welks 
  as 
  d 
  kruist. 
  Met 
  de 
  

   punten 
  van 
  a 
  x 
  komen 
  de 
  stralen 
  van 
  den 
  stralenbundel 
  Ad 
  overeen. 
  

  

  De 
  hoofdstralen 
  zijn 
  drieërlei; 
  met 
  do 
  hoofdstralen, 
  die 
  d 
  snijden, 
  

   komen 
  de 
  raaklijnen 
  van 
  K 
  x 
  * 
  overeen; 
  met 
  de 
  hoofdstralen 
  door 
  A 
  

   do 
  dubbelraaklijnen 
  van 
  K 
  x 
  *; 
  met 
  do 
  hoofdstralen, 
  die 
  niet 
  door 
  A 
  

   gaan 
  en 
  d 
  kruisen, 
  de 
  raaklijnen 
  van 
  X*, 
  die 
  a 
  x 
  snijden. 
  

  

  e. 
  Met 
  een 
  rechte 
  / 
  van 
  R 
  komt 
  een 
  kegelsnede 
  l 
  x 
  2 
  overeen, 
  die 
  

   a 
  x 
  snijdt 
  en 
  in 
  drie 
  punten 
  raakt. 
  

  

  f. 
  Met 
  een 
  vlak 
  <p 
  in 
  R 
  komt 
  een 
  oppervlak 
  van 
  den 
  derden 
  graad 
  

   jFi 
  3 
  overeen, 
  dat 
  een 
  rechte 
  van 
  het 
  stelsel 
  p 
  x 
  tot 
  enkelvoudige 
  richtlijn 
  

   heeft, 
  en 
  waarvan 
  a 
  x 
  een 
  van 
  de 
  beschrijvende 
  rechten 
  is; 
  F 
  x 
  s 
  raakt 
  

   K 
  x 
  * 
  in 
  een 
  kromme 
  van 
  den 
  vierden 
  graad. 
  Gaat 
  q> 
  door 
  -4, 
  dan 
  

   gaat 
  F 
  x 
  z 
  over 
  in 
  een 
  kwadratisch 
  oppervlak 
  F 
  x 
  2 
  in 
  verbinding 
  met 
  

   het 
  vlak 
  a 
  1? 
  F 
  x 
  2 
  gaat 
  door 
  een 
  rechte 
  van 
  het 
  stelsel 
  p 
  x 
  en 
  raakt 
  

   Ki* 
  volgens 
  een 
  kubische 
  ruimtekromme. 
  

  

  21. 
  Het 
  beeldoppervlak 
  0j 
  a 
  nebbe 
  nu 
  een 
  willekeurigen 
  stand; 
  

   met 
  een 
  rechte/! 
  in 
  R 
  x 
  komt 
  een 
  ruimtekromme 
  / 
  3 
  door 
  Movereen; 
  

   snijdt 
  f 
  x 
  het 
  oppervlak 
  O 
  x 
  z 
  in 
  twee 
  punten, 
  M 
  x 
  en 
  N 
  x 
  , 
  dan 
  komt 
  

   met 
  elk 
  dezer 
  punten 
  het 
  punt 
  A 
  en 
  nog 
  drie 
  gekoppelde 
  punten 
  

   overeen; 
  alzoo 
  treedt 
  A 
  in 
  do 
  plaats 
  van 
  twee 
  snijpunten 
  van 
  l 
  3 
  

   met 
  O*. 
  A 
  is 
  dus 
  een 
  dubbelpunt, 
  welks 
  eigenschappen 
  onderzocht 
  

   kunnen 
  worden. 
  

  

  Wanneer 
  A 
  een 
  kegelpunt 
  is, 
  welks 
  raakkegel 
  zich 
  niet 
  splitst, 
  

   dan 
  moeten 
  de 
  stralen 
  van 
  dien 
  raakkegel 
  overeen 
  komen 
  met 
  de 
  

   beschrijvende 
  lijnon 
  van 
  een 
  regelvlak 
  in 
  R 
  x 
  . 
  Dit 
  oppervlak 
  moet 
  

   dan 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  zijn, 
  daar 
  het 
  door 
  een 
  rechte 
  l 
  x 
  in 
  

   evenveel 
  punten 
  gesneden 
  moet 
  worden, 
  als 
  de 
  overeenkomstige 
  

   door 
  A 
  gaande 
  kromme 
  / 
  3 
  den 
  raakkegel 
  snijdt 
  d. 
  i. 
  in 
  vier 
  pun- 
  

   ten. 
  Denkt 
  men 
  zich 
  nu 
  door 
  A 
  een 
  rechte 
  / 
  getrokken, 
  dan 
  is 
  

   de 
  overeenkomstige 
  rechte 
  l 
  x 
  een 
  dubbeler 
  raaklijn 
  van 
  K£ 
  en 
  elk 
  

   punt 
  van 
  l 
  x 
  komt, 
  behalve 
  met 
  A, 
  met 
  nog 
  een 
  punt 
  van 
  / 
  overeen. 
  

   Er 
  is 
  evenwel 
  één 
  punt 
  van 
  ? 
  1} 
  dat 
  met 
  A 
  dubbel 
  overeenkomt, 
  dit 
  

   is 
  het 
  punt, 
  waarin 
  l 
  x 
  het 
  raakvlak 
  a 
  x 
  snijdt 
  (20 
  b). 
  Hieruit 
  volgt: 
  

   Het 
  regelvlak 
  in 
  R 
  x 
  , 
  dat 
  overeenkomt 
  met 
  den 
  raakkegel 
  

  

  