﻿DUBBEERECHTE 
  DOOR 
  MIDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  29 
  

  

  rechte 
  </, 
  en 
  de 
  daarop 
  liggende 
  dubbelpunten 
  de 
  uitkomsten 
  van 
  de 
  

   beschouwingen 
  van 
  geval 
  />' 
  kunnen 
  worden 
  overgenomen. 
  Er 
  ontstaan 
  

   evenwel 
  eenigc 
  bijzonderheden 
  door 
  het 
  aanwezig 
  zijn 
  van 
  het 
  

   dubbelpunt 
  A, 
  die 
  zullen 
  worden 
  nagegaan. 
  

  

  De 
  punten 
  van 
  Oj 
  8 
  , 
  die 
  dubbel 
  overeenkomen 
  met 
  het 
  punt 
  //, 
  

   liggen 
  op 
  de 
  doorsnede 
  cf 
  van 
  a 
  l 
  met 
  Of; 
  daar 
  nu 
  een 
  willekeurige 
  

   kegelsnede 
  kf 
  van 
  Of 
  cf 
  in 
  twee 
  punten 
  snijdt, 
  zoo 
  volgt 
  hieruit: 
  

  

  Alle 
  ruimtekrommen 
  op 
  ö 
  + 
  , 
  die 
  overeen 
  komen 
  met 
  kegelsneden 
  

   op 
  Of, 
  hebben 
  het 
  kegelpunt 
  A 
  tot 
  dubbelpunt. 
  

  

  Met 
  de 
  rechten, 
  die 
  A 
  verbinden 
  met 
  punten 
  der 
  kromme, 
  komen 
  

   in 
  R\ 
  overeen 
  de 
  niet 
  in 
  a 
  { 
  liggende 
  dubbelraaklijnen 
  van 
  Kf, 
  die 
  

   door 
  punten 
  der 
  kegelsnede 
  A;, 
  2 
  gaan. 
  

  

  .Met 
  de 
  beide 
  raaklijnen 
  der 
  ruimtekromme 
  in 
  A 
  komen 
  de 
  twee 
  

   dubbelraaklijnen 
  overeen, 
  die 
  uit 
  de 
  beide 
  snijpunten 
  van 
  kf- 
  en 
  c, 
  3 
  

   te 
  trekken 
  zijn. 
  

  

  Hieruit 
  volgt 
  dus, 
  dat 
  er 
  door 
  het 
  punt 
  A 
  een 
  aantal 
  dezer 
  

   krommen 
  gaan, 
  welke 
  een 
  oneindigheid 
  van 
  de 
  tweede 
  orde 
  vormen, 
  

   die 
  A 
  tot 
  keerpunt 
  hebben. 
  Zij 
  komen 
  overeen 
  met 
  die 
  kegelsneden 
  

   op 
  <V, 
  die 
  cf 
  raken. 
  

  

  In 
  het 
  vlak 
  eener 
  kegelsnede 
  van 
  Of 
  ligt 
  een 
  dubbelraaklijn 
  van 
  

   Kf 
  er 
  kan 
  dus 
  uit 
  A 
  een 
  rechte 
  getrokken 
  worden, 
  die 
  de 
  kromme 
  

   nog 
  in 
  twee 
  punten 
  snijdt. 
  

  

  Met 
  de 
  rechten 
  op 
  Of 
  komen 
  weder 
  kubische 
  ruimtekrommen 
  

   overeen, 
  die 
  allen 
  weder 
  door 
  A 
  zullen 
  gaan. 
  

  

  De 
  rechten 
  op 
  O 
  4 
  verdeden 
  zich 
  in 
  de 
  rechten 
  door 
  A 
  en 
  in 
  die- 
  

   genen, 
  die 
  niet 
  door 
  A 
  gaan. 
  Met 
  de 
  eerstgenoemde 
  komen 
  in 
  R 
  de 
  

   twee 
  snijpunten 
  van 
  a 
  x 
  niet 
  Of 
  overeen; 
  alzoo 
  zijn 
  er 
  twee 
  rechten 
  

   door 
  A, 
  die 
  in 
  de 
  plaats 
  treden 
  van 
  vier 
  rechten 
  van 
  het 
  algemeene 
  

   oppervlak. 
  Verder 
  kunnen 
  er 
  zes 
  gemeenschappelijke 
  raakvlakken 
  

   aan 
  Of 
  en 
  Kf 
  worden 
  gebracht, 
  waarin 
  alzoo 
  nog 
  twaalf 
  rechten 
  

   van 
  Of 
  liggen, 
  die 
  Kf 
  raken; 
  hiermede 
  komen 
  in 
  R 
  nog 
  twaalf 
  

   rechten 
  overeen. 
  

  

  Ook 
  bij 
  dit 
  oppervlak 
  is 
  er 
  geen 
  bezwaar 
  in 
  het 
  bepalen 
  van 
  die 
  

   kegelsneden-doorsneden, 
  die 
  met 
  de 
  gegeven 
  rechten 
  op 
  oppervlakken 
  

   van 
  het 
  stelsel 
  liggen. 
  Laat 
  in 
  R 
  x 
  de 
  snijpunten 
  van 
  r/, 
  met 
  Kf 
  

   A 
  x 
  en 
  Ai 
  zijn, 
  dan 
  gaan 
  door 
  Ai 
  twee 
  beschrijvende 
  lijmui 
  van 
  Of; 
  

   hieruit 
  volgt, 
  dat 
  met 
  de 
  door 
  A 
  gaande 
  en 
  met 
  A 
  x 
  overeenkomende 
  

   rechte 
  a 
  op 
  O 
  1, 
  (2o 
  d) 
  twee 
  kegelsneden 
  gekoppeld 
  zijn, 
  en 
  op 
  de- 
  

   zelfde 
  wijze 
  zijn 
  met 
  de 
  andere 
  door 
  A 
  gaande 
  rechte 
  a' 
  eveneens 
  

   twee 
  kegelsneden 
  gekoppeld. 
  

  

  Een 
  beschrijvende 
  rechte 
  op 
  Of, 
  die 
  door 
  A 
  l 
  gaat, 
  ligt 
  met 
  een 
  der 
  

   beschrijvende 
  rechten 
  door 
  A{ 
  in 
  een 
  vlak, 
  dat 
  door 
  «i 
  gaat. 
  Hieruit 
  

  

  