﻿32 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  belpunten 
  hebben, 
  A 
  en 
  B] 
  een 
  der 
  beide 
  dubbelpunten, 
  of 
  ook 
  wel 
  

   beide, 
  kan 
  in 
  een 
  keerpunt 
  overgaan; 
  heeft 
  de 
  kromme 
  een 
  keer- 
  

   punt, 
  zoowel 
  in 
  A 
  als 
  in 
  #, 
  dan 
  komt 
  met 
  haar 
  in 
  £ 
  1 
  .een 
  kegel- 
  

   snede 
  overeen, 
  gelegen 
  in 
  een 
  vlak, 
  dat 
  de 
  kegelsneden, 
  volgens 
  

   welke 
  a 
  1 
  en 
  ft\ 
  het 
  oppervlak 
  0^ 
  snijden, 
  raakt. 
  Zoo 
  ook 
  zullen 
  

   de 
  kubische 
  ruimtekrommen 
  elkander 
  in 
  A 
  en 
  B 
  snijden. 
  

  

  Uit 
  elk 
  der 
  punten 
  A 
  en 
  B 
  gaan 
  twee 
  rechten, 
  op 
  O 
  1 
  gelegen, 
  

   deze 
  rechten 
  komen 
  in 
  R 
  x 
  overeen 
  met 
  de 
  snijpunten 
  van 
  a 
  x 
  en 
  

   b 
  1 
  met 
  O 
  v 
  2 
  . 
  Verder 
  hebben 
  en 
  O 
  x 
  % 
  nog 
  vier 
  gemeenschappelijke 
  

   raakvlakken, 
  in 
  elk 
  dezer 
  raakvlakken 
  liggen 
  twee 
  beschrijvende 
  

   rechten, 
  zoodat 
  er 
  nog 
  acht 
  rechten 
  op 
  O 
  liggen, 
  die 
  niet 
  door 
  A 
  

   of 
  B 
  gaan. 
  

  

  De 
  kegelsneden, 
  die 
  bij 
  deze 
  rechten 
  behooren 
  en 
  met 
  haar 
  ge- 
  

   durig 
  een 
  bijzonder 
  geval 
  van 
  een 
  kubische 
  ruimtekromme 
  van 
  het 
  

   stelsel 
  vormen, 
  zijn 
  volgens 
  de 
  vroeger 
  gestelde 
  regels 
  op 
  te 
  sporen. 
  

   Hierbij 
  is 
  dan 
  nog 
  het 
  volgende 
  in 
  het 
  oog 
  te 
  houden 
  : 
  

  

  Gaat 
  de 
  rechte 
  door 
  A, 
  dan 
  gaat 
  de 
  bijbehoorende 
  kegelsnede 
  door 
  

   B 
  en 
  omgekeerd. 
  

  

  Gaat 
  de 
  rechte 
  niet 
  door 
  A 
  of 
  B, 
  dan 
  gaat 
  de 
  bijbehoorende 
  

   kegelsnede, 
  zoowel 
  door 
  A 
  als 
  door 
  B. 
  

  

  Bedenkt 
  men 
  verder, 
  dat 
  er 
  op 
  0^ 
  acht 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  

   elk 
  stelsel 
  zijn, 
  die 
  overeenkomen 
  met 
  kegelsneden 
  die 
  met 
  rechten 
  

   gekoppeld 
  zijn, 
  dan 
  geeft 
  het 
  opsporen 
  van 
  den 
  stand 
  der 
  kegel- 
  

   sneden 
  en 
  rechten 
  ten 
  opzichte 
  van 
  elkander 
  evenmin 
  bezwaar 
  als 
  

   bij 
  het 
  voorgaande 
  geval. 
  De 
  zestien 
  beschrijvende 
  rechten 
  in 
  R 
  l 
  

   zijn 
  de 
  acht 
  beschrijvende 
  rechten, 
  gaande 
  door 
  de 
  snijpunten 
  van 
  

   0! 
  2 
  met 
  ai 
  en 
  b\ 
  en 
  de 
  acht 
  beschrijvende 
  rechten, 
  liggende 
  in 
  de 
  

   gemeenschappelijke 
  raakvlakken 
  van 
  0^ 
  en 
  L 
  x 
  2 
  . 
  

  

  Het 
  volgende 
  geval 
  zal 
  voldoende 
  de 
  gelegenheid 
  geven 
  om 
  het 
  

   bepalen 
  der 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  bij 
  oppervlakken 
  van 
  den 
  vier- 
  

   den 
  graad 
  met 
  dubbelrechte 
  volledig 
  te 
  behandelen. 
  

  

  26. 
  Wanneer 
  men 
  onderstelt, 
  dat 
  het 
  oppervlakkenstelsel 
  drie 
  

   punten 
  A, 
  B 
  en 
  C 
  bezit, 
  die 
  aan 
  alle 
  oppervlakken 
  gemeen 
  zijn, 
  

   dan 
  treden 
  de 
  volgende 
  bijzonderheden 
  in. 
  

  

  a. 
  Met 
  een 
  punt 
  Mi 
  in 
  jRi 
  komt 
  behalve 
  A, 
  B 
  en 
  O, 
  nog 
  een 
  

   punt 
  M 
  overeen. 
  

  

  b. 
  Het 
  oppervlak 
  K-f 
  gaat 
  over 
  in 
  de 
  rechten 
  a 
  1? 
  c 
  x 
  van 
  het 
  

   stelsel 
  qi 
  en 
  de 
  rechte 
  d\ 
  van 
  het 
  stelsel 
  p\. 
  

  

  d. 
  Het 
  kernoppervlak 
  gaat 
  over 
  in 
  de 
  vlakken 
  Ad, 
  B 
  d, 
  Cd 
  

   en 
  ABC. 
  

  

  d. 
  Met 
  den 
  vlakkcnbundel 
  door 
  d 
  x 
  komt 
  de 
  vlakkenbundel 
  door 
  

   d 
  in 
  verbinding 
  met 
  ABC 
  overeen. 
  Met 
  de 
  vlakkenparen, 
  gevormd 
  

  

  