﻿34 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  van 
  fti 
  en 
  y 
  1 
  met 
  X 
  2 
  raken. 
  Hierdoor 
  wordt 
  het 
  vraagstuk 
  terug- 
  

   gebracht 
  tot 
  het 
  navolgende 
  : 
  

  

  Een 
  vlak 
  te 
  construeeren, 
  rakende 
  aan 
  drie 
  kegelsneden, 
  die 
  elkan- 
  

   der 
  twee 
  aan 
  twee 
  in 
  twee 
  punten 
  snijden. 
  

  

  Alle 
  vlakken, 
  die 
  de 
  beide 
  eerste 
  kegelsneden 
  raken, 
  omhullen 
  

   twee 
  kegelvlakken 
  van 
  den 
  tweeden 
  graad, 
  die 
  door 
  de 
  eerste 
  twee 
  

   kegelsneden 
  te 
  construeeren 
  zijn. 
  Onder 
  de 
  raakvlakken 
  van 
  ieder 
  

   dezer 
  kegelvlakken 
  zijn 
  er 
  vier, 
  die 
  tevens 
  aan 
  de 
  derde 
  kegelsnede 
  

   raken, 
  alzoo 
  zijn 
  er 
  in 
  het 
  geheel 
  acht 
  vlakken, 
  die 
  de 
  drie 
  kegel- 
  

   sneden 
  raken 
  cn 
  dns 
  ook 
  acht 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  

   op 
  O 
  4 
  , 
  die 
  A, 
  B 
  en 
  C 
  tot 
  keerpunten 
  hebben. 
  

  

  29. 
  De 
  vermelde 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zegden 
  graad 
  kunnen 
  

   zich, 
  even 
  als 
  bij 
  de 
  vroegere 
  gevallen, 
  verdeelen 
  in 
  twee 
  kubische 
  

   ruimtekrommen. 
  De 
  bespreking 
  hiervan 
  geeft 
  evenwel 
  geen 
  aanlei- 
  

   ding 
  tot 
  nieuwe 
  gezichtspunten. 
  Dit 
  is 
  wel 
  het 
  geval 
  met 
  de 
  op 
  

   O* 
  liggende 
  rechten 
  en 
  kegelsneden 
  ; 
  bij 
  het 
  oppervlak 
  met 
  drie 
  

   kegelpunten 
  is 
  een 
  vollediger 
  studie 
  daarvan 
  mogelijk 
  dan 
  bij 
  de 
  vroe- 
  

   gere 
  vormen. 
  Het 
  is 
  namelijk 
  vroeger 
  (11) 
  gebleken, 
  dat 
  er, 
  behalve 
  

   de 
  kegelsneden, 
  welke 
  met 
  rechten 
  op 
  O 
  1, 
  gekoppeld 
  een 
  bijzondere 
  

   kubische 
  ruimtekromme 
  uit 
  het 
  stelsel 
  vormen, 
  nog 
  meer 
  kegelsneden 
  

   op 
  O 
  4 
  kunnen 
  liggen; 
  de 
  oplossing 
  nu 
  van 
  dit 
  vraagstuk 
  is 
  bij 
  het 
  

   oppervlak 
  met 
  drie 
  kegelpunten 
  op 
  eenvoudige 
  wijze 
  uitvoerbaar. 
  

  

  Daarvoor 
  moeten 
  in 
  R 
  x 
  de 
  figuren 
  bepaald 
  worden, 
  die 
  met 
  kegel- 
  

   sneden 
  in 
  R 
  overeenkomen. 
  

  

  Een 
  kegelsnede 
  k 
  % 
  in 
  R, 
  die 
  d 
  in 
  een 
  punt 
  snijdt, 
  wordt 
  door 
  

   een 
  oppervlak 
  van 
  het 
  stelsel 
  in 
  drie 
  punten 
  buiten 
  d 
  gesneden, 
  

   door 
  de 
  vlakken 
  dd, 
  Bd 
  en 
  Cd 
  nog 
  in 
  een 
  punt 
  en 
  door 
  het 
  vlak 
  

   A 
  BC 
  in 
  twee 
  punten 
  Hieruit 
  volgt, 
  dat 
  in 
  de 
  ruimte 
  R 
  x 
  met 
  k 
  2 
  

   een 
  kubische 
  ruimtekromme 
  overeenkomt, 
  die 
  een 
  punt 
  met 
  ieder 
  

   der 
  rechten 
  a 
  1? 
  b 
  x 
  en 
  c 
  x 
  gemeen 
  heeft 
  en 
  twee 
  punten 
  met 
  d 
  x 
  . 
  

  

  Gaat 
  deze 
  kegelsnede 
  k 
  2 
  door 
  A, 
  dan 
  wordt 
  door 
  haar 
  een 
  opper- 
  

   vlak 
  van 
  het 
  stelsel 
  bepaald, 
  daar 
  & 
  2 
  , 
  de 
  rechte 
  d, 
  die 
  er 
  een 
  punt 
  

   mede 
  gemeen 
  heeft, 
  benevens 
  de 
  punten 
  B 
  en 
  C 
  negen 
  punten 
  van 
  

   een 
  kwadratisch 
  oppervlak 
  vertegenwoordigen 
  ; 
  de 
  overeenkomstige 
  

   kromme 
  in 
  R 
  x 
  ligt 
  dus 
  in 
  een 
  plat 
  vlak 
  ; 
  daar 
  een 
  oppervlak 
  van 
  het 
  

   stelsel 
  k 
  2 
  in 
  twee 
  punten 
  buiten 
  A 
  en 
  d 
  snijdt, 
  zoo 
  is 
  de 
  kromme 
  

   in 
  R 
  x 
  insgelijks 
  een 
  kegelsnede, 
  die 
  met 
  b 
  Xl 
  c 
  x 
  en 
  d 
  x 
  een 
  punt 
  ge- 
  

   meen 
  heeft. 
  

  

  Gaat 
  k 
  2 
  door 
  A 
  en 
  B, 
  dan 
  bepaalt 
  zij 
  een 
  bundel 
  oppervlakken 
  

   van 
  het 
  stelsel 
  ; 
  in 
  R 
  x 
  komt 
  met 
  haar 
  een 
  rechte 
  overeen, 
  die 
  c 
  x 
  

   snijdt. 
  In 
  het 
  eerste 
  geval 
  wordt 
  de 
  graad 
  der 
  kromme 
  door 
  a 
  x 
  , 
  

   in 
  het 
  tweede 
  door 
  aj 
  en 
  b 
  x 
  tot 
  den 
  derden 
  aangevuld. 
  

  

  