﻿DUBBELRECHTE 
  DOOK 
  MTDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  37 
  

  

  32. 
  Ten 
  slotte 
  behoort 
  nog 
  liet 
  geval 
  beschouwd 
  te 
  worden, 
  

   waarin 
  het 
  oppervlak 
  O 
  4 
  kan 
  verkoeren 
  wanneer 
  twee 
  der 
  punten 
  

   A,B,C 
  te 
  /amen 
  vallen. 
  liet 
  oppervlakkenstelsel 
  verkeert 
  dan 
  in 
  

   een 
  van 
  de 
  volgende 
  twee 
  omstandigheden. 
  

  

  a. 
  Alle 
  oppervlakken 
  van 
  het 
  stelsel 
  raken 
  aan 
  de 
  rechte 
  a 
  in 
  

   het 
  punt 
  A. 
  

  

  b. 
  Alle 
  oppervlakken 
  van 
  het 
  stelsel 
  gaan 
  door 
  het 
  punt 
  B 
  en 
  

   raken 
  aan 
  de 
  rechte 
  a 
  in 
  het 
  punt 
  A. 
  

  

  Het 
  zal 
  in 
  de 
  eerste 
  plaats 
  noodig 
  zijn, 
  na 
  te 
  gaan 
  welke 
  wijzi- 
  

   gingen 
  er 
  in 
  de 
  oppervlakken 
  A^ 
  6 
  en 
  K* 
  komt, 
  wanneer 
  men 
  deze 
  

   vergelijkt 
  met 
  de 
  resultaten 
  in 
  n°. 
  23 
  en 
  26. 
  Deze 
  zijn 
  : 
  

  

  a. 
  De 
  vlakken 
  Ad 
  en 
  Bd 
  vallen 
  samen. 
  

  

  De 
  beschrijvende 
  rechten 
  a\ 
  en 
  b 
  X) 
  benevens 
  de 
  vlakken 
  a 
  x 
  cnfi 
  h 
  

   vallen 
  samen. 
  

  

  Met 
  de 
  hoofdstraten, 
  die 
  niet 
  door 
  A 
  gaan 
  en 
  ook 
  d 
  niet 
  snijden, 
  

   komen 
  in 
  R 
  x 
  de 
  rechten 
  overeen, 
  die 
  K 
  x 
  raken 
  in 
  punten 
  van 
  a 
  x 
  . 
  

  

  b. 
  De 
  vlakken 
  Ad 
  en 
  Cd 
  vallen 
  samen; 
  Bd 
  blijft 
  afzonderlijk. 
  

   De 
  rechte 
  c 
  x 
  valt 
  samen 
  met 
  a 
  x 
  , 
  zoo 
  ook 
  het 
  vlak 
  y 
  x 
  met 
  tt\. 
  

   Met 
  de 
  hoofdstraten 
  door 
  B 
  komen 
  in 
  R 
  x 
  de 
  rechten 
  overeen, 
  

  

  die 
  K 
  x 
  2 
  raken 
  in 
  punten 
  van 
  a 
  x 
  . 
  

  

  Het 
  is 
  nu 
  wel 
  af 
  te 
  leiden, 
  welke 
  in 
  dit 
  geval 
  de 
  overeenkom- 
  

   stige 
  vormen 
  in 
  R 
  x 
  zijn 
  van 
  rechten, 
  kegelsneden 
  en 
  andere 
  krommen. 
  

  

  Vielen 
  de 
  drie 
  punten 
  A,B,C 
  in 
  een 
  punt 
  te 
  zamen, 
  dan 
  zoude 
  

   het 
  oppervlak 
  O* 
  twee 
  elkaar 
  snijdende 
  dubbclrechten 
  bezitten, 
  d 
  en 
  

   de 
  rechte, 
  die 
  het 
  snijpunt 
  van 
  d 
  met 
  het 
  vlak 
  ABC 
  verbindt 
  met 
  

   het 
  punt, 
  dat 
  de 
  drie 
  samenvallende 
  punten 
  vertegenwoordigt. 
  Dit 
  

   Oppervlak 
  behoort 
  dus 
  tot 
  een 
  andere 
  groep. 
  

  

  33. 
  Beschouwen 
  wij 
  eerst 
  het 
  geval 
  a 
  en 
  denken 
  wij 
  ons 
  een 
  

   willekeurig 
  beeld-oppervlak 
  0£ 
  gegeven. 
  Alsdan 
  vallen 
  de 
  beide 
  

   kegelpunten 
  A 
  en 
  B 
  samen 
  en 
  gaan 
  over 
  in 
  een 
  biplanaar 
  punt 
  van 
  

   de 
  tweede 
  soort 
  A, 
  een 
  punt, 
  dat 
  zich 
  dus 
  onderscheidt 
  van 
  een 
  

   biplanaar 
  punt 
  van 
  de 
  eerste 
  soort, 
  waarbij 
  de 
  raakkegel 
  in 
  twee 
  

   vlakken 
  is 
  overgegaan. 
  Even 
  als 
  bij 
  het 
  geval, 
  waarin 
  de 
  kegel- 
  

   punten 
  A 
  en 
  B 
  gescheiden 
  zijn, 
  kan 
  men 
  in 
  R 
  x 
  de 
  stralen 
  opsporen, 
  

   die 
  met 
  de 
  stralen 
  van 
  raakkegel 
  en 
  omhullingskegel 
  overeenkomen. 
  

   Construeert 
  men 
  de 
  ecrstgcmelde 
  stralen, 
  overeenkomstig 
  met 
  n°. 
  24, 
  

   dan 
  blijkt 
  het, 
  dat 
  men 
  uit 
  de 
  punten 
  der 
  kegelsnede 
  Ci 
  2 
  , 
  waarin 
  

   cc 
  x 
  het 
  beeld-oppervlak 
  O-f 
  snijdt, 
  rechten 
  moei 
  trekken, 
  die 
  zoowel 
  

   den 
  kegel 
  L 
  x 
  % 
  raken 
  als 
  b 
  x 
  snijden. 
  Daar 
  b 
  x 
  evenwel 
  samenvalt 
  

   met 
  o 
  l5 
  valt 
  een 
  gedeelte 
  dier 
  raaklijnen 
  in 
  het 
  vlak 
  ct 
  x 
  . 
  Uit 
  elk 
  der 
  

   snijpunten 
  van 
  a 
  x 
  met 
  Cj 
  3 
  kan 
  men, 
  behalve 
  cc 
  x 
  , 
  nog 
  een 
  raakvlak 
  

   aan 
  L 
  x 
  * 
  trekken; 
  alzoo 
  gaan 
  de 
  beide 
  regelvlakkeh 
  van 
  het 
  geval 
  

  

  