﻿38 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  der 
  twee 
  kegelpunten 
  over 
  in 
  twee 
  vlakken, 
  welke 
  Lf 
  raken, 
  en 
  

   waarmede 
  dus 
  in 
  R 
  twee 
  vlakken 
  overeenkomen, 
  die 
  elkaar 
  in 
  a 
  

   snijden. 
  

  

  De 
  omhullingskegel 
  uit 
  A 
  heeft 
  de 
  rechte 
  a 
  tot 
  dubbelstraal 
  ; 
  elk 
  

   der 
  raakvlakken 
  in 
  A 
  snijdt 
  dezen 
  in 
  twee 
  stralen. 
  

  

  Kik 
  der 
  raakvlakken 
  in 
  A 
  zal 
  verder 
  O* 
  snijden 
  in 
  een 
  kromme 
  

   van 
  den 
  vierden 
  graad, 
  die 
  A 
  tot 
  drievoudig 
  punt 
  heeft; 
  daar 
  deze 
  

   kromme 
  ook 
  in 
  een 
  punt 
  van 
  d 
  een 
  dubbelpunt 
  moet 
  bezitten, 
  ver- 
  

   deelt 
  zij 
  zich 
  in 
  een 
  kromme 
  van 
  den 
  derden 
  graad 
  met 
  het 
  dub- 
  

   punt 
  A 
  en 
  in 
  een 
  rechte, 
  die 
  A 
  met 
  het 
  snijpunt 
  van 
  het 
  raakvlak 
  

   en 
  d 
  verbindt. 
  Hieruit 
  volgt 
  tevens, 
  dat 
  er 
  door 
  A 
  twee 
  rechten 
  

   van 
  0* 
  gaan, 
  ieder 
  liggende 
  in 
  een 
  der 
  beide 
  raakvlakken, 
  waarin 
  

   de 
  raakkegel 
  is 
  overgegaan. 
  

  

  Men 
  neme 
  een 
  kegelsnede 
  kf 
  op 
  Of 
  aan. 
  Hiermede 
  komt 
  in 
  R 
  

   een 
  ruimtekromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  op 
  O 
  1 
  overeen, 
  die 
  in 
  A 
  

   twee 
  samenvallende 
  dubbelpunten, 
  alzoo 
  een 
  dubbelknoop 
  bezit 
  ; 
  de 
  

   raaklijn 
  aan 
  dezen 
  dubbelknoop 
  is 
  a. 
  De 
  kegelsnede 
  kf 
  heeft 
  twee 
  

   punten 
  gemeen 
  met 
  de 
  kegelsnede 
  cf, 
  volgens 
  welke 
  het 
  beeldop- 
  

   pervlak 
  Of 
  snijdt, 
  de 
  overeenkomstige 
  kromme 
  k 
  6 
  wordt 
  dus 
  door 
  

   den 
  dubbelknoop 
  in 
  twee 
  deelen 
  verdeeld; 
  raakten 
  kf 
  en 
  C] 
  2 
  elkan- 
  

   der, 
  dan 
  verdwijnt 
  een 
  der 
  beide 
  deelen, 
  door 
  den 
  dubbelknoop 
  ge- 
  

   scheiden; 
  hieruit 
  volgt, 
  dat 
  voor 
  dit 
  geval 
  de 
  dubbelknoop 
  overgaat 
  

   in 
  een 
  snavelpunt; 
  van 
  deze 
  ruimtekrommen 
  met 
  snavelpunt 
  zijn 
  er 
  

   dus 
  een 
  oneindig 
  aantal. 
  

  

  Alle 
  kubische 
  ruimtekrommen, 
  die 
  met 
  rechten 
  op 
  Of 
  overeen- 
  

   komen, 
  hebben 
  in 
  het 
  punt 
  A 
  de 
  rechte 
  a 
  tot 
  raaklijn. 
  

  

  Behalve 
  de 
  beide 
  door 
  A 
  gaande 
  rechten 
  zijn 
  er 
  verder 
  nog 
  acht 
  

   rechten, 
  die 
  niet 
  door 
  A 
  gaan. 
  

  

  34. 
  Bij 
  het 
  geval 
  b 
  ontstaat 
  er, 
  nevens 
  het 
  biplanare 
  punt 
  A 
  7 
  

   nog 
  een 
  kegelpunt 
  B. 
  Dit 
  oppervlak 
  bezit 
  vier 
  rechten, 
  door 
  A 
  en 
  

   B 
  gaande, 
  en 
  vier 
  niet 
  bijzonder 
  gelegen 
  rechten. 
  

  

  Ook 
  nu 
  is 
  men 
  in 
  staat 
  het 
  aantal 
  drievoudige 
  raakvlaken 
  volle- 
  

   dig 
  te 
  bepalen. 
  Volgt 
  men 
  daartoe 
  den 
  weg, 
  in 
  n 
  D 
  . 
  30 
  aangewezen, 
  

   en 
  vervangt 
  men 
  de 
  rechten 
  c 
  1 
  door 
  a 
  } 
  en 
  de 
  punten 
  C\ 
  en 
  C\ 
  

   door 
  A 
  x 
  en 
  A\ 
  dan 
  blijkt 
  het, 
  dat 
  op 
  de 
  oppervlakte 
  van 
  Of 
  de 
  

   navolgende 
  drietallen 
  van 
  punten 
  blijven 
  bestaan 
  : 
  

  

  A 
  x 
  B 
  x 
  Au 
  A 
  1 
  B\ 
  A 
  i; 
  A\ 
  B 
  l 
  A\, 
  A\ 
  B\ 
  A\. 
  

  

  Yoor 
  de 
  tweetallen 
  punten 
  blijven 
  bestaan 
  : 
  

  

  A 
  1 
  i 
  i; 
  A 
  l 
  B 
  i; 
  A\ 
  B 
  li 
  A 
  x 
  B\; 
  A\ 
  A\ 
  ; 
  A\ 
  B\. 
  

  

  Bij 
  deze 
  combinatiën 
  zijn 
  A- 
  1 
  A 
  x 
  en 
  A\ 
  A\ 
  de 
  voorstelling 
  van 
  

   raaklijnen, 
  door 
  A 
  1 
  of 
  A\ 
  getrokken 
  aan 
  Of. 
  

  

  Yan 
  de 
  beschrijvende 
  rechten 
  op 
  0^, 
  die 
  overeenkomen 
  met 
  kegel- 
  

  

  