﻿40 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  men 
  ; 
  tevens 
  zijn 
  in 
  den 
  stand 
  k 
  elk 
  der 
  beide 
  drievoudige 
  punten 
  M 
  

   en 
  N 
  met 
  A 
  door 
  een 
  réchte 
  op 
  O 
  4 
  verbonden 
  en 
  in 
  den 
  stand 
  l 
  is 
  

   er 
  een 
  rechte, 
  die 
  het 
  punt 
  A 
  met 
  de 
  samengevallen 
  punteu 
  M 
  en 
  N 
  

   verbindt; 
  A 
  d 
  is 
  dan 
  een 
  raakvlak, 
  dat 
  O 
  4 
  langs 
  deze 
  rechte 
  raakt. 
  

  

  In 
  den 
  stand 
  m 
  ontstaat 
  er 
  een 
  oppervlak 
  met 
  keerrechte 
  en 
  

   kegelpunt 
  A. 
  De 
  rechten, 
  die 
  met 
  rechten 
  op 
  O 
  4 
  overeenkomen, 
  

   vindt 
  men 
  door 
  de 
  snijpunten 
  te 
  construeeren 
  van 
  de 
  raakkromme 
  

   Ci 
  3 
  van 
  en 
  K-f 
  (20 
  b) 
  en 
  van 
  met 
  de 
  raakkegelsnede 
  van 
  

   Oi 
  3 
  en 
  K^. 
  Het 
  eerste 
  drietal 
  snijpunten 
  geeft 
  weder 
  op 
  O 
  1, 
  drie 
  

   rechtenparen, 
  welker 
  snijpunten 
  op 
  d 
  liggen; 
  het 
  snijpunt 
  van 
  a 
  x 
  

   met 
  de 
  raakkegelsnede 
  geeft 
  een 
  rechte 
  door 
  A. 
  Wederom 
  is 
  A 
  d 
  

   een 
  vlak, 
  dat 
  O 
  4, 
  langs 
  deze 
  rechte 
  raakt. 
  Het 
  geheel 
  aantal 
  rech- 
  

   ten 
  voor 
  dit 
  geval 
  bedraagt 
  dus 
  zeven. 
  

  

  Bij 
  den 
  stand 
  n 
  zijn 
  er 
  twee 
  rechten, 
  die 
  A 
  met 
  de 
  beide 
  drie- 
  

   voudige 
  punten 
  M 
  en 
  N 
  verbinden; 
  door 
  elk 
  dezer 
  punten 
  gaan 
  

   nog 
  vier 
  rechten, 
  terwijl 
  een 
  der 
  rechten 
  met 
  d 
  samenvalt 
  en 
  er 
  

   nog 
  een 
  willekeurig 
  gelegene 
  overblijft. 
  

  

  Eindelijk 
  geeft 
  de 
  stand 
  o 
  aanleiding 
  tot 
  een 
  oppervlak 
  met 
  een 
  

   triplanaar 
  punt 
  M, 
  een 
  rechte, 
  die 
  M 
  met 
  A 
  verbindt, 
  en 
  nog 
  vier 
  

   rechten, 
  die 
  door 
  M 
  gaan 
  en 
  niet 
  door 
  A. 
  Er 
  is 
  een 
  standvastig 
  

   raakvlak, 
  dat 
  O 
  4 
  snijdt 
  volgens 
  een 
  rechte, 
  die 
  met 
  d 
  samenvalt 
  en 
  

   een 
  willekeurige 
  rechte. 
  

  

  37. 
  Na 
  hetgeen 
  thans 
  gevonden 
  is, 
  is 
  het 
  licht 
  in 
  te 
  zien, 
  welke 
  

   vormen 
  er 
  ontstaan 
  zoo 
  het 
  oppervlakkenstelsel 
  twee 
  punten 
  A 
  en 
  

   B 
  bezit, 
  die 
  aan 
  alle 
  oppervlakken 
  gemeen 
  zijn. 
  

  

  De 
  standen 
  a, 
  b 
  7 
  g, 
  h 
  geven 
  weder 
  aanleiding 
  tot 
  een 
  oppervlak 
  

   met 
  twee 
  kegelpunten 
  en 
  met 
  klempunten, 
  die 
  op 
  verschillende 
  

   wijzen 
  met 
  elkander 
  samenvallen 
  ; 
  terwijl 
  bij 
  d 
  en 
  f 
  bij 
  de 
  kegel- 
  

   punten 
  zich 
  een 
  standvastig 
  raakvlak 
  voegt. 
  Het 
  aantal 
  rechten 
  is 
  

   vier 
  minder 
  dan 
  in 
  het 
  algemeen 
  geval. 
  Bij 
  de 
  standen 
  c, 
  <?, 
  i, 
  j, 
  Je, 
  l, 
  

   komen 
  er, 
  nevens 
  de 
  beide 
  kegelpunten, 
  een 
  of 
  twee 
  drievoudige 
  

   punten. 
  Deze 
  drievoudige 
  punten 
  zijn 
  zoowel 
  met 
  A 
  als 
  met 
  B 
  te 
  

   verbinden 
  door 
  rechten, 
  die 
  geheel 
  op 
  O 
  4 
  liggen. 
  Bij 
  den 
  stand 
  m 
  

   ontstaat 
  er 
  een 
  oppervlak 
  met 
  keerrechte 
  en 
  twee 
  kegelpunten 
  A 
  en 
  

   -B; 
  het 
  geheel 
  aantal 
  rechten 
  bedraagt 
  zes, 
  waarvan 
  er 
  een 
  door 
  A 
  

   en 
  een 
  door 
  B 
  gaat, 
  de 
  beide 
  andere 
  paren 
  hebben 
  haar 
  ontmoe- 
  

   tingspunt 
  in 
  d. 
  In 
  den 
  stand 
  n 
  is 
  er 
  weder 
  een 
  standvastig 
  raak- 
  

   vlak 
  en 
  twee 
  drievoudige 
  punten, 
  terwijl 
  er 
  in 
  den 
  stand 
  o 
  twee 
  

   rechten 
  zijn, 
  die 
  het 
  triplanarc 
  punt 
  M 
  met 
  A 
  en 
  B 
  verbinden; 
  

   buitendien 
  is 
  er 
  nog 
  een 
  rechtenpaar, 
  dat 
  haar 
  snijpunt 
  in 
  M 
  heeft 
  

   en 
  een, 
  dat 
  zich 
  verdeelt 
  in 
  een 
  rechte 
  langs 
  d 
  en 
  een 
  willekeurig 
  

   gelegen 
  rechte. 
  

  

  