﻿42 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  Men 
  legge 
  daartoe 
  een 
  vlak 
  q> 
  x 
  door 
  den 
  top 
  D 
  Y 
  van 
  Oi 
  2 
  ; 
  dit 
  

   snijdt 
  Oi 
  3 
  volgens 
  twee 
  elkaar 
  snijdende 
  rechten 
  / 
  x 
  en 
  m\. 
  Met 
  cpi 
  

   komt 
  in 
  R 
  een 
  oppervlak 
  jP 
  2 
  overeen, 
  dat 
  tot 
  het 
  stelsel 
  behoort; 
  

   hieruit 
  zijn 
  in 
  de 
  eerste 
  plaats 
  gevolgen 
  te 
  trekken. 
  

  

  Het 
  oppervlak 
  F 
  2 
  van 
  het 
  stelsel 
  snijdt 
  alzoo 
  O 
  4 
  in 
  twee 
  kubi- 
  

   sche 
  ruimtekrommen, 
  die 
  de 
  vier 
  gekoppelde 
  punten 
  A, 
  B, 
  C, 
  D 
  

   gemeen 
  hebben. 
  Beschouwt 
  men 
  l\ 
  en 
  m 
  x 
  als 
  de 
  [assen 
  van 
  de 
  

   twee 
  projectieve 
  vlakkenbundels, 
  die 
  Oi 
  2 
  doen 
  ontstaan, 
  dan 
  ziet 
  

   men, 
  dat 
  men 
  op 
  dezelfde 
  wijze 
  de 
  overeenkomstige 
  krommen 
  P 
  en 
  

   m 
  3 
  beschouwen 
  kan 
  als 
  de 
  basiskrommen 
  van 
  twee 
  projectieve 
  op- 
  

   pervlakkenbundels, 
  tot 
  het 
  stelsel 
  behoorende; 
  de 
  doorsnijdingen 
  der 
  

   homologe 
  oppervlakken 
  zijn 
  kubische 
  ruimtekrommen, 
  die 
  door 
  hare 
  

   beweging 
  O 
  4 
  beschrijven. 
  Trekt 
  men 
  nu 
  door 
  een 
  der 
  gekoppelde 
  

   punten, 
  b. 
  v. 
  A, 
  raaklijnen 
  aan 
  deze 
  krommen, 
  dan 
  vormen 
  deze 
  

   de 
  stralen 
  van 
  den 
  raakkegel 
  in 
  het 
  dubbelpunt 
  A. 
  De 
  raaklijn 
  

   aan 
  l 
  B 
  of 
  m 
  3 
  kan 
  ook 
  beschouwd 
  worden 
  als 
  de 
  snijlijn 
  van 
  de 
  

   raakvlakken, 
  in 
  het 
  punt 
  A 
  aan 
  alle 
  oppervlakken 
  van 
  den 
  bundel 
  

   getrokken, 
  welker 
  basiskromme 
  l 
  3 
  of 
  m 
  3 
  is, 
  en 
  daar 
  men 
  elk 
  der 
  

   door 
  de 
  gekoppelde 
  punten 
  gaande 
  krommen 
  als 
  basiskromme 
  van 
  

   oppervlakkenbundels 
  beschouwen 
  kan, 
  zoo 
  kan 
  men 
  de 
  raaklijnen 
  

   aan 
  de 
  krommen 
  beschouwen 
  als 
  snijlijnen 
  van 
  twee 
  homologe 
  vlak- 
  

   ken 
  van 
  de 
  raakvlakkenbundels, 
  bij 
  de 
  basiskrommen 
  l 
  3 
  en 
  m 
  3 
  be- 
  

   hoorende. 
  Deze 
  snijlijnen 
  beschrijven 
  alzoo 
  een 
  kwadratischen 
  kegel, 
  

   welke 
  de 
  raakkegel 
  in 
  A 
  is. 
  Daar 
  dezelfde 
  redeneering 
  voor 
  de 
  

   punten 
  B, 
  C 
  en 
  D 
  gemaakt 
  kan 
  worden, 
  zoo 
  volgt 
  hieruit, 
  dat 
  de 
  

   vier 
  punten 
  A, 
  -5, 
  C, 
  D 
  kegelpunten 
  zijn. 
  

  

  Deze 
  kegelpunten 
  stemmen 
  dus 
  in 
  eigenschappen 
  overeen 
  met 
  die, 
  

   welke 
  voor 
  het 
  geval 
  C 
  gevonden 
  zijn, 
  hoewel 
  hun 
  oorsprong 
  een 
  

   geheel 
  andere 
  is; 
  ook 
  het 
  oppervlak 
  in 
  R\, 
  dat 
  met 
  den 
  raakkegel 
  

   overeenkomt, 
  verschilt, 
  daar 
  met 
  de 
  stralen 
  van 
  den 
  raakkegel 
  kegel- 
  

   sneden 
  in 
  R\ 
  overeenkomen. 
  

  

  Even 
  als 
  voren 
  is 
  de 
  omhullingskegel 
  uit 
  A 
  als 
  top 
  een 
  kegel 
  

   van 
  den 
  vierden 
  graad 
  ; 
  deze 
  heeft 
  nu 
  drie 
  dubbelstralen 
  A 
  A 
  C 
  

   en 
  A 
  D 
  en 
  raakt 
  weder 
  den 
  raakkegel 
  volgens 
  vier 
  stralen, 
  welke 
  

   de 
  vierpuntige 
  raaklijnen 
  in 
  A 
  zijn. 
  Hetzelfde 
  geldt 
  van 
  de 
  raak- 
  

   en 
  omhullingskegels 
  met 
  de 
  andere 
  kegelpunten 
  als 
  toppen. 
  

  

  40. 
  Een 
  willekeurig 
  vlak 
  (pi 
  snijdt 
  CV 
  in 
  een 
  kegelsnede, 
  met 
  

   welke, 
  even 
  als 
  vroeger, 
  een 
  ruimtekromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  

   op 
  O 
  é 
  overeen 
  komt, 
  welke 
  d 
  in 
  vier 
  punten 
  snijdt. 
  Deze 
  ruimte- 
  

   krommen 
  kunnen 
  in 
  vele 
  bijzondere 
  gevallen 
  verkeeren 
  ; 
  het 
  onder- 
  

   zoek 
  van 
  deze 
  en 
  de 
  uitkomsten, 
  waartoe 
  het 
  leidt, 
  sluiten 
  zich 
  aan 
  

   bij 
  hetgeen 
  daaromtrent 
  in 
  het 
  algemeen 
  geval 
  A 
  gevonden 
  is. 
  

  

  