﻿DUBBELTl 
  ECHTE 
  DOOR 
  MIDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  43 
  

  

  Evenwel 
  zij 
  opgemerkt, 
  dat 
  in 
  het 
  algemeen 
  geval 
  beschouwd 
  zijn 
  

   de 
  raakvlakken 
  aan 
  de 
  vier 
  kwadratische 
  kegels, 
  die 
  door 
  de 
  snij- 
  

   kromme 
  van 
  CV 
  en 
  K{ 
  : 
  gebracht 
  kunnen 
  worden; 
  in 
  het 
  thans 
  be- 
  

   schouwde 
  geval 
  is 
  CV 
  zelf 
  een 
  dezer 
  kegels 
  en 
  ondergaat 
  dus 
  het 
  

   aantal 
  groepen 
  ot' 
  bijzondere 
  vormen 
  van 
  ruimtekrommen 
  een 
  ver- 
  

   mindering. 
  Zoo 
  zal 
  bijv. 
  liet 
  aantal 
  dezer 
  krommen, 
  dat 
  vier 
  op- 
  

   volgende 
  punten 
  met 
  (/ 
  gemeen 
  heeft, 
  twaalf' 
  bedragen. 
  

  

  Op 
  dit 
  oppervlak 
  zijn 
  geen 
  ruimtekrommen 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  

   mogelijk, 
  die 
  , 
  B 
  } 
  C 
  en 
  D 
  tot 
  dubbelpunten 
  hebben; 
  daarin 
  wijkt 
  

   het 
  af 
  van 
  dat 
  met 
  een 
  geringer 
  aantal 
  kegelpunten. 
  Deze 
  uitslag- 
  

   was 
  te 
  voorzien; 
  zij 
  namelijk 
  c 
  ü 
  een 
  der 
  ruimtekrommen 
  op 
  een 
  

   oppervlak 
  met 
  drie 
  kegelpunten, 
  die 
  in 
  deze 
  punten 
  dubbelpunten 
  

   bezit. 
  Wanneer 
  men 
  c 
  G 
  projecteert 
  uit 
  een 
  punt 
  van 
  d, 
  dan 
  ont- 
  

   staat 
  een 
  vlakke 
  kromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  met 
  een 
  viervoudig 
  

   punt 
  en 
  vier 
  dubbelpunten 
  ; 
  daar 
  het 
  viervoudige 
  punt 
  gelijkwaardig 
  

   is 
  met 
  zes 
  dubbelpunten, 
  moet 
  deze 
  kromme 
  beschouwd 
  worden 
  als 
  

   hebbende 
  tien 
  dubbelpunten; 
  dit 
  is 
  evenwel 
  de 
  grens 
  van 
  het 
  

   aantal 
  dubbelpunten 
  eener 
  kromme 
  van 
  den 
  zesden 
  graad 
  ; 
  alzoo 
  zal 
  

   zij 
  zich, 
  bij 
  nog 
  één 
  dubbelpunt 
  meer, 
  moeten 
  splitsen. 
  Dit 
  nu 
  ge- 
  

   beurt 
  hier 
  werkelijk, 
  want 
  legt 
  men, 
  ten 
  einde 
  de 
  dubbelpunten 
  in 
  

   de 
  kegelpunten 
  te 
  verkrijgen, 
  het 
  vlak 
  rp 
  l 
  door 
  Dj, 
  dan 
  splitst 
  zich 
  

   de 
  kegelsnede 
  in 
  twee 
  rechten 
  en 
  alzoo 
  de 
  ruimtekromme 
  van 
  den 
  

   zesden 
  graad 
  in 
  de 
  twee 
  kubische 
  ruimtekrommen, 
  die 
  d 
  tot 
  koorde 
  

   hebben 
  ; 
  de 
  basiskrommen 
  der 
  oppervlakkenbundels, 
  die 
  O 
  4 
  doen 
  ont- 
  

   staan, 
  moeten 
  dus 
  beschouwd 
  worden 
  als 
  gedeelten 
  van 
  ruimtekrommen 
  

   van 
  den 
  zesden 
  graad. 
  

  

  Daar 
  er 
  vier 
  stralen 
  van 
  CV 
  zijn, 
  die 
  K{ 
  2 
  raken, 
  zijn 
  er 
  vier 
  

   kubische 
  ruimtekrommen 
  door 
  de 
  kegelpunten, 
  die 
  d 
  raken. 
  

  

  De 
  vlakken, 
  die 
  CV 
  raken, 
  komen 
  overeen 
  met 
  oppervlakken 
  van 
  

   het 
  stelsel, 
  die 
  O 
  1 
  volgens 
  een 
  kubische 
  ruimtekromme 
  raken 
  ; 
  deze 
  

   vlakken 
  vormen 
  een 
  oneindigheid 
  van 
  de 
  eerste 
  orde. 
  

  

  Uit 
  dit 
  alles 
  volgt, 
  dat 
  een 
  oppervlak 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  met 
  

   dubbclrcchte 
  en 
  vier 
  kegelpunten 
  geconstrueerd 
  kan 
  worden, 
  zoodra 
  

   daarvan 
  gegeven 
  zijn 
  de 
  dubbclrcchte, 
  de 
  vier 
  kegelpunten 
  en 
  nog 
  

   vijf 
  punten, 
  met 
  deze 
  gegevens 
  toch 
  komen 
  in 
  1^ 
  overeen 
  de 
  top 
  

   D 
  x 
  van 
  den 
  kegel 
  en 
  vijf 
  punten. 
  De 
  constructie 
  verloopt 
  als 
  volgt 
  : 
  

  

  Zijn 
  Aj 
  B, 
  Cj 
  D 
  de 
  kegelpunten, 
  d 
  de 
  dubbelrechte 
  en 
  1, 
  2, 
  3, 
  

   4, 
  5 
  de 
  gegeven 
  enkelvoudige 
  punten, 
  dan 
  construeere 
  men 
  een 
  

   kubische 
  ruimtekromme, 
  die 
  door 
  A, 
  B, 
  C, 
  Z>, 
  1 
  gaat 
  en 
  d 
  tot 
  koorde 
  

   heeft, 
  en 
  eene, 
  die 
  door 
  A, 
  B, 
  C, 
  22, 
  2 
  gaat 
  en 
  d 
  tot 
  koorde 
  heeft. 
  

   Men 
  legge 
  nu 
  door 
  elk 
  dezer 
  krommen 
  en 
  de 
  punten 
  3, 
  4, 
  5 
  drie 
  

   kwadratische 
  oppervlakken, 
  dan 
  is 
  de 
  projectiviteit 
  der 
  oppervlakken- 
  

  

  