﻿44 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  bundels 
  bepaald, 
  en 
  men 
  kan 
  een 
  willekeurig 
  aantal 
  homologe 
  op- 
  

   pervlakken 
  van 
  beide 
  bundels 
  construeeren, 
  die 
  elkaar 
  snijden 
  vol- 
  

   gens 
  kubische 
  ruimtekrommen 
  op 
  O 
  4 
  liggende. 
  

  

  Daar 
  elk 
  der 
  kegelpunten 
  vier 
  voorwaarden 
  vertegenwoordigt 
  

   en 
  de 
  overige 
  vijf 
  punten 
  ieder 
  met 
  een 
  gelijk 
  staan, 
  en 
  een 
  alge- 
  

   meen 
  oppervlak 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  door 
  34 
  punten 
  bepaald 
  is, 
  

   zoo 
  volgt 
  hieruit 
  : 
  

  

  De 
  dubbelrechte 
  van 
  een 
  oppervlak 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  ver- 
  

   tegenwoordigt 
  13 
  voorwaarden 
  van 
  constructie. 
  

  

  Eindelijk 
  doet 
  de 
  ligging 
  der 
  beschrijvende 
  rechten 
  van 
  de 
  stel- 
  

   sels 
  pi 
  en 
  qi 
  op 
  Zf, 
  2 
  zien, 
  dat 
  er 
  geen 
  bijzonderheden 
  bij 
  de 
  ligging 
  

   der 
  klempunten 
  of 
  den 
  stand 
  der 
  klemvlakken 
  behoeven 
  in 
  te 
  treden. 
  

  

  41. 
  Door 
  den 
  top 
  D 
  x 
  van 
  0^ 
  kunnen 
  vier 
  raakvlakken 
  aan 
  K-f 
  

   gelegd 
  worden 
  ; 
  deze 
  snijden 
  0^ 
  in 
  acht 
  stralen, 
  waarmede 
  in 
  R 
  

   acht 
  rechten 
  op 
  O 
  4, 
  overeenkomen, 
  met 
  deze 
  acht 
  rechten 
  zijn 
  tevens 
  

   acht 
  kegelsneden 
  gekoppeld. 
  Daar 
  in 
  R\ 
  de 
  rechten 
  allen 
  door 
  Di 
  

   gaan, 
  zoo 
  gaan 
  rechten 
  en 
  kegelsneden 
  allen 
  door 
  de 
  vier 
  gekop- 
  

   pelde 
  punten 
  ^4, 
  i?, 
  C 
  en 
  Z>, 
  waaruit 
  de 
  navolgende 
  verdeeling 
  volgt 
  : 
  

  

  a. 
  Door 
  elk 
  der 
  kegelpunten 
  gaan 
  twee 
  rechten. 
  

  

  b. 
  Door 
  elk 
  drietal 
  kegelpunten 
  gaan 
  twee 
  kegelsneden. 
  

  

  c. 
  De 
  kegelsneden, 
  die 
  niet 
  in 
  een 
  vlak 
  liggen, 
  snijden 
  elkaar 
  

   in 
  twee 
  punten. 
  

  

  d. 
  Door 
  elk 
  der 
  kegelpunten 
  gaan 
  in 
  het 
  geheel 
  alzoo 
  zes 
  kegel- 
  

   sneden 
  ; 
  deze 
  zes 
  kegelsneden 
  zijn 
  gekoppeld 
  met 
  de 
  zes 
  rechten, 
  

   die 
  door 
  de 
  andere 
  kegelpunten 
  gaan. 
  

  

  Het 
  blijkt 
  alzoo 
  bij 
  dit 
  oppervlak, 
  dat 
  er 
  geen 
  rechten 
  op 
  liggen, 
  

   die 
  niet 
  door 
  een 
  der 
  kegelpunten 
  gaan. 
  Bij 
  het 
  optreden 
  van 
  elk 
  

   kegelpunt 
  zijn 
  gedurig 
  vier 
  rechten 
  tot 
  twee 
  samengevloeid, 
  zoodat 
  

   de 
  vier 
  groepen 
  van 
  vier 
  rechten 
  nu 
  tot 
  vier 
  groepen 
  van 
  twee 
  zijn 
  

   overgegaan. 
  

  

  Hieruit 
  blijkt, 
  dat 
  men 
  bij 
  het 
  nu 
  behandelde 
  oppervlak 
  gekomen 
  

   is 
  aan 
  een 
  grens 
  van 
  het 
  aantal 
  kegelpunten. 
  Dat 
  die 
  grens 
  bereikt 
  

   is 
  blijkt 
  ook 
  hieruit, 
  dat 
  de 
  omhullingskegel 
  uit 
  een 
  der 
  kegelpunten 
  

   gedurig 
  een 
  dubbelstraal 
  aanneemt 
  voor 
  elk 
  kegelpunt, 
  dat 
  nog 
  

   daarenboven 
  optreedt. 
  Bij 
  een 
  oppervlak 
  met 
  vijf 
  kegelpunten 
  zoude 
  

   de 
  omhullingskegel 
  vier 
  dubbelstralen 
  moeten 
  hebben 
  en 
  zich 
  dus 
  

   moeten 
  splitsen. 
  Uit 
  dit 
  alles 
  laat 
  zich 
  het 
  later 
  te 
  ontwikkelen 
  

   beginsel 
  afleiden, 
  dat, 
  wanneer 
  een 
  oppervlak 
  van 
  den 
  vierden 
  graad 
  

   met 
  dubbelrechte 
  meer 
  dan 
  'vier 
  kegelpunten 
  bezit, 
  deze 
  een 
  bijzon- 
  

   deren 
  stand 
  ten 
  opzichte 
  van 
  elkander 
  moeten 
  hebben. 
  

  

  Verder 
  is 
  het 
  duidelijk, 
  dat 
  het 
  opsporen 
  van 
  het 
  aantal 
  drievou- 
  

   dige 
  raakvlakken 
  in 
  dit 
  geval 
  onvolledig 
  opgelost 
  is, 
  daar 
  alleen 
  die 
  

  

  