﻿46 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  liggen, 
  die 
  d 
  in 
  twee 
  punten 
  raken 
  zullen 
  en 
  daaronder 
  slechts 
  

   twee, 
  die 
  d 
  tot 
  raaklijn 
  in 
  een 
  undulatiepunt 
  hebben. 
  Deze 
  krom- 
  

   men 
  hebben 
  geen 
  dubbelpunten 
  in 
  een 
  der 
  kegelpunten. 
  Op 
  een 
  

   wijze, 
  overeenkomende 
  met 
  die 
  van 
  geval 
  B 
  14 
  vindt 
  men 
  verder 
  

   de 
  bijzonderheden 
  der 
  krommen, 
  die 
  door 
  P 
  gaan. 
  

  

  Onder 
  de 
  kubische 
  ruimtekrommen, 
  die 
  door 
  de 
  vier 
  kegelpunten 
  

   gaan, 
  is 
  er 
  een, 
  die 
  d 
  in 
  het 
  punt 
  P 
  raakt; 
  zij 
  komt 
  overeen 
  met 
  

   de 
  beschrijvende 
  rechte 
  van 
  2 
  2 
  , 
  die 
  Ki 
  2 
  raakt; 
  nog 
  twee 
  andere 
  

   dezer 
  krommen 
  raken 
  d 
  in 
  een 
  ander 
  punt. 
  

  

  De 
  stand 
  b 
  geeft 
  geen 
  aanleiding 
  tot 
  nieuwe 
  opmerkingen 
  ; 
  zijn 
  

   bijzonderheden 
  zijn 
  uit 
  het 
  voorgaande 
  af 
  te 
  leiden. 
  

  

  Het 
  aantal 
  rechten 
  bedraagt 
  als 
  voren 
  acht. 
  

  

  44. 
  Wanneer, 
  gelijk 
  bij 
  stand 
  c 
  ondersteld 
  wordt, 
  de 
  top 
  D 
  x 
  op 
  

   ligt, 
  dan 
  komt 
  van 
  de 
  vier 
  gekoppelde 
  punten 
  A, 
  B 
  1 
  C, 
  D 
  een 
  

   op 
  d) 
  de 
  andere 
  drie 
  liggen 
  willekeurig 
  op 
  het 
  oppervlak. 
  Hieruit 
  

   volgt, 
  dat 
  dit 
  oppervlak 
  insgelijks 
  vier 
  kegelpunten 
  bezit, 
  maar 
  dat 
  

   een 
  daarvan 
  op 
  de 
  dubbelrechte 
  d 
  is 
  komen 
  te 
  vallen. 
  Zij 
  nu 
  D 
  

   dit 
  dubbelpunt 
  op 
  d, 
  dan 
  ligt 
  er 
  op 
  O* 
  weder 
  een 
  bundel 
  kubische 
  

   ruimtekrommen, 
  die 
  ditmaal 
  d 
  in 
  het 
  vaste 
  punt 
  D 
  snijden, 
  terwijl 
  

   het 
  andere 
  snijpunt 
  veranderlijk 
  is 
  ; 
  onder 
  deze 
  ruimtekrommen 
  zijn 
  

   er 
  twee, 
  die 
  d 
  raken; 
  deze 
  laatste 
  komen 
  overeen 
  met 
  de 
  beide 
  

   raaklijnen 
  van 
  i^ 
  3 
  , 
  die 
  tevens 
  stralen 
  van 
  O-f 
  zijn. 
  De 
  raaklijnen 
  

   aan 
  de 
  krommen 
  zijn 
  de 
  stralen 
  van 
  den 
  raakkegel 
  in 
  D. 
  De 
  over- 
  

   eenkomstige 
  rechten 
  in 
  Bi 
  verkrijgt 
  men 
  door 
  uit 
  Di 
  het 
  raakvlak 
  

   te 
  trekken 
  aan 
  i^ 
  6 
  , 
  dat 
  door 
  de 
  beschrijvende 
  rechte 
  van 
  het 
  stelsel 
  

   q 
  x 
  gaat. 
  Alle 
  rechten, 
  door 
  D 
  x 
  in 
  dit 
  raakvlak 
  getrokken, 
  snijden 
  

   Oj 
  2 
  uitsluitend 
  in 
  D\ 
  en 
  hunne 
  overeenkomstige 
  snijden 
  O* 
  in 
  D 
  

   viervoudig; 
  zij 
  liggen 
  allen 
  in 
  een 
  vlak 
  door 
  d 
  y 
  het 
  vlak, 
  dat 
  met 
  

   het 
  geconstrueerde 
  raakvlak 
  overeenkomt 
  en 
  er 
  liggen 
  in 
  dit 
  vlak 
  

   twee 
  rechten 
  door 
  D, 
  die 
  geheel 
  op 
  O* 
  liggen. 
  De 
  raakkegel 
  gaat 
  

   dus 
  over 
  in 
  het 
  vlak, 
  waarin 
  de 
  twee 
  rechten 
  uit 
  D 
  gelegen 
  zijn; 
  

   de 
  stralen 
  door 
  D 
  zijn 
  ook 
  gedurig 
  de 
  raaklijnen 
  aan 
  de 
  dubbel- 
  

   knoopen 
  der 
  krommen 
  van 
  den 
  vierden 
  graad, 
  waarin 
  een 
  vlak 
  door 
  

   D 
  O* 
  snijdt. 
  

  

  De 
  omhullingskegel 
  uit 
  D 
  kan 
  insgelijks 
  geconstrueerd 
  worden. 
  Brengt 
  

   men 
  een 
  vlak 
  door 
  X>, 
  dan 
  kunnen 
  uit 
  den 
  dubbelknoop 
  vier 
  raak- 
  

   lijnen 
  aan 
  de 
  doorsnede 
  getrokken 
  worden; 
  voor 
  de 
  vlakken 
  door 
  d 
  

   wordt 
  de 
  doorsnede 
  een 
  niet 
  door 
  D 
  gaande 
  kegelsnede, 
  hieraan 
  

   kunnen 
  uit 
  D 
  dus 
  twee 
  raaklijnen 
  getrokken 
  worden; 
  voor 
  de 
  vlak- 
  

   ken 
  door 
  D 
  en 
  een 
  der 
  andere 
  kegelpunten, 
  b. 
  v. 
  A, 
  gaat 
  de 
  door- 
  

   snede 
  over 
  in 
  een 
  kromme 
  van 
  den 
  vierden 
  graad, 
  die, 
  behalve 
  den 
  

   dubbelknoop 
  Z>, 
  nog 
  een 
  dubbelpunt 
  A 
  bezit 
  en 
  waaraan 
  dus 
  uit 
  

  

  