﻿48 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  raakvlak 
  ft\ 
  aan 
  K 
  l 
  6 
  1 
  het 
  is 
  dat 
  raakvlak, 
  dat 
  gebracht 
  wordt 
  door 
  

   de 
  rechte 
  die, 
  behalve 
  a 
  1? 
  door 
  B 
  x 
  op 
  K-f 
  getrokken 
  kan 
  wor- 
  

   den. 
  Alle 
  rechten, 
  door 
  B 
  Y 
  in 
  dit 
  vlak 
  ft 
  x 
  getrokken, 
  zijn 
  raaklij- 
  

   nen 
  aan 
  i^ 
  6 
  , 
  met 
  welke 
  in 
  R 
  eveneens 
  rechten, 
  behoorende 
  tot 
  den 
  

   raakkegel 
  in 
  B, 
  overeenkomen. 
  Hieruit 
  volgt 
  : 
  

  

  De 
  raakkegel 
  in 
  B 
  splitst 
  zich 
  in 
  twee 
  deelen; 
  een 
  deel 
  is 
  een 
  

   kwadratische 
  kegel 
  Z> 
  2 
  , 
  deel 
  uitmakende 
  van 
  het 
  oppervlakkenstelsel; 
  

   het 
  tweede 
  deel 
  is 
  een 
  vlak 
  d 
  door 
  d; 
  het 
  drievoudig 
  punt 
  B 
  is 
  

   dus 
  planaar 
  en 
  men 
  kan 
  den 
  raakkegel 
  beschouwen, 
  als 
  den 
  vorm, 
  

   waarin 
  een 
  kubische 
  kegel 
  overslaat, 
  wanneer 
  hij 
  twee 
  dubbelstralen 
  

   bezit. 
  

  

  Het 
  is, 
  evenals 
  bij 
  het 
  geval 
  B, 
  duidelijk 
  dat 
  alle 
  ruimtekrommen 
  

   van 
  den 
  zesden 
  of 
  derden 
  graad, 
  die 
  tot 
  het 
  stelsel 
  behooren, 
  door 
  

   B 
  gaan 
  ; 
  voor 
  het 
  onderzoek 
  der 
  bijzondere 
  vormen 
  van 
  deze 
  merke 
  

   men 
  dan 
  nog 
  op, 
  dat 
  er, 
  behalve 
  0{ 
  2 
  zelf, 
  slechts 
  een 
  dubbel 
  pro- 
  

   jecteerende 
  kegel 
  van 
  de 
  snijkromme 
  is. 
  Er 
  zijn 
  verder, 
  even 
  als 
  

   vroeger, 
  nog 
  twee 
  klempunten 
  op 
  d, 
  terwijl 
  kleurvlakken 
  ontbreken. 
  

  

  Het 
  punt 
  D 
  en 
  het 
  vlak 
  d 
  vervangen 
  de 
  ontbrekende 
  punten 
  en 
  

   vlakken. 
  

  

  Het 
  aantal 
  rechten 
  is 
  acht 
  gebleven, 
  want 
  door 
  B 
  x 
  kunnen 
  aan 
  

   drie 
  raakvlakken 
  gelegd 
  worden, 
  die 
  0/ 
  snijden 
  volgens 
  a 
  x 
  en 
  

   nog 
  een 
  straal, 
  benevens 
  het 
  vroeger 
  genoemde 
  raakvlak 
  ft 
  X) 
  dat 
  

   O 
  x 
  2 
  volgens 
  twee 
  stralen 
  snijdt. 
  Met 
  toepassing 
  der 
  vroeger 
  toege- 
  

   paste 
  beginselen 
  vindt 
  men 
  dus 
  nu 
  : 
  

  

  Van 
  de 
  acht 
  rechten 
  gaan 
  er 
  vijf 
  door 
  B. 
  Drie 
  van 
  deze 
  ver- 
  

   binden 
  D 
  met 
  elk 
  der 
  kegel 
  punten 
  A, 
  B 
  en 
  O, 
  twee 
  andere 
  liggen 
  

   in 
  een 
  vlak 
  door 
  d] 
  dit 
  vlak 
  d 
  vormt 
  tevens 
  een 
  deel 
  van 
  den 
  

   raakkegel 
  in 
  D\ 
  door 
  elk 
  der 
  kegelpunten 
  A, 
  B 
  en 
  C 
  gaat 
  nog 
  

   een 
  rechte 
  van 
  O*, 
  die 
  d 
  in 
  een 
  punt 
  snijdt. 
  Op 
  d 
  zijn 
  verder 
  nog 
  

   twee 
  klempunten. 
  

  

  De 
  bijzonderheden 
  van 
  den 
  stand 
  g 
  zijn 
  nu 
  gemakkelijk 
  uit 
  de 
  

   hierbij 
  opgesomde 
  af 
  te 
  leiden. 
  Wederom 
  zal 
  het 
  kegelpunt 
  B 
  zich 
  

   op 
  d 
  plaatsen 
  en 
  daar 
  een 
  drievoudig 
  punt 
  doen 
  ontstaan. 
  In 
  de 
  

   ruimte 
  B\ 
  zal 
  de 
  gemeenschappelijke 
  beschrijvende 
  rechte 
  a 
  x 
  van 
  

   0^ 
  en 
  K{ 
  1 
  de 
  kubische 
  ruimtekromme, 
  die 
  het 
  overige 
  der 
  snij- 
  

   kromme 
  vormt, 
  raken 
  ; 
  in 
  dit 
  raakpunt 
  ligt 
  dus 
  de 
  top 
  B 
  x 
  van 
  O 
  x 
  2 
  

   en 
  het 
  raakvlak 
  aan 
  0^ 
  langs 
  a,\ 
  bevat 
  tevens 
  de 
  tweede 
  beschrij- 
  

   vende 
  rechte 
  b\ 
  van 
  -S^ 
  2 
  , 
  die 
  door 
  B 
  x 
  gaat, 
  bi 
  is 
  dus 
  de 
  snijlijn 
  der 
  

   beide 
  vlakken, 
  die 
  in 
  R 
  vertegenwoordigd 
  worden 
  door 
  den 
  kegel 
  

   van 
  het 
  stelsel, 
  die 
  B 
  tot 
  top 
  heeft 
  en 
  het 
  vlak 
  d\ 
  Hieruit 
  volgt 
  : 
  

  

  De 
  stand 
  g 
  geeft 
  aanleiding 
  tot 
  een 
  drievoudig 
  punt, 
  welks 
  raak- 
  

   kegel 
  bestaat 
  uit 
  een 
  kegel 
  van 
  het 
  stelsel, 
  die 
  B 
  tot 
  top 
  heeft 
  en 
  

  

  