﻿DUBBBLBECHTE 
  DOOR 
  MIDDEL 
  VAN 
  PROJECTIEVE 
  BUNDELS. 
  51 
  

  

  dan 
  snijdt 
  deze 
  den 
  kegel 
  O 
  x 
  ~ 
  in 
  twee 
  punten 
  ; 
  met 
  elk 
  dezer 
  pun- 
  

   ten 
  komen 
  vier 
  gekoppelde 
  punten 
  overeen, 
  waarvan 
  er 
  van 
  elk 
  

   viertal 
  een 
  in 
  // 
  gelegen 
  is, 
  A 
  is 
  dus 
  ook 
  een 
  dubbelpunt 
  ; 
  men 
  

   kan 
  op 
  dezelfde 
  wijze 
  als 
  bij 
  het 
  genoemde 
  geval 
  (21) 
  bewijzen, 
  dat 
  

   het 
  een 
  kegelpunt 
  is. 
  Gaat 
  /j 
  door 
  D 
  l 
  , 
  dan 
  komt 
  met 
  D 
  u 
  behalve 
  

   het 
  punt 
  A 
  7 
  het 
  drietal 
  gekoppelde 
  punten 
  D, 
  B 
  en 
  C 
  overeen 
  (20); 
  

   hieruit 
  blijkt, 
  dat 
  ook 
  deze 
  punten 
  dubbelpunten 
  zijn, 
  van 
  welke, 
  

   even 
  als 
  bij 
  geval 
  E, 
  men 
  aantoonen 
  kan, 
  dat 
  ook 
  deze 
  kegelpunten 
  

   zijn; 
  alzoo 
  bezit 
  ook 
  nu 
  O' 
  vier 
  kegelpunten, 
  die 
  met 
  elkander 
  ge- 
  

   koppeld 
  zijn, 
  zoodal 
  hel 
  oppervlak 
  overeenstemt 
  met 
  dat 
  van 
  geval 
  E. 
  

  

  Het 
  is 
  onnoodig 
  voor 
  dit 
  geval 
  een 
  afzonderlijk 
  onderzoek 
  in 
  te 
  

   stellen 
  naar 
  de 
  raak- 
  en 
  omhullingskegels 
  uit 
  deze 
  kegelpunten, 
  (laai- 
  

   de 
  vroeger 
  gemaakte 
  redeneeringen 
  geheel 
  herhaald 
  zouden 
  worden. 
  

   Hetzelfde 
  geldt 
  van 
  de 
  verschillende 
  ruimtekrommen, 
  op 
  Omgelegen; 
  

   slechts 
  ten 
  opzichte 
  der 
  rechten 
  op 
  O 
  4, 
  moge 
  het 
  volgende 
  vermeld 
  

   worden. 
  

  

  De 
  rechten 
  ontstaan 
  op 
  twee 
  wijzen. 
  Het 
  ontwikkelbaar 
  opper- 
  

   vlak 
  A'j 
  4, 
  is 
  van 
  de 
  derde 
  klasse 
  geworden, 
  alzoo 
  kunnen 
  uit 
  

   drie 
  raakvlakken 
  daaraan 
  gebracht 
  worden, 
  deze 
  drie 
  raakvlakken 
  

   snijden 
  O, 
  2 
  elk 
  in 
  twee 
  stralen, 
  waarmede 
  drie 
  tweetallen 
  van 
  rech- 
  

   ten 
  overeen 
  komen, 
  door 
  de 
  kegelpunten 
  7), 
  /?, 
  C 
  gaande. 
  De 
  

   rechte 
  «i, 
  die 
  bij 
  behoort, 
  snijdt 
  O 
  x 
  l 
  in 
  twee 
  punten 
  ; 
  met 
  deze 
  

   twee 
  punten 
  komen 
  nog 
  twee 
  rechten 
  door 
  A 
  overeen; 
  zoodat 
  O 
  k 
  

   weder 
  acht 
  rechten 
  bezit, 
  waarvan 
  er 
  door 
  ieder 
  kegelpunt 
  twee 
  gaan. 
  

  

  Men 
  geraakt 
  tot 
  volkomen 
  dezelfde 
  uitkomsten, 
  wanneer 
  men 
  

   onderstelt, 
  dat 
  het 
  stelsel 
  oppervlakken 
  twee 
  vaste 
  punten 
  A 
  en 
  B 
  

   bezit, 
  die 
  aan 
  alle 
  oppervlakken 
  gemeen 
  zijn; 
  deze 
  punten 
  doen 
  

   twee 
  kegelpunten 
  ontstaan, 
  bij 
  welke 
  zich 
  nog 
  de 
  kegelpunten 
  C 
  

   en 
  D 
  voegen, 
  die 
  daarmede 
  weder 
  een 
  viertal 
  gekoppelde 
  punten 
  

   vormen. 
  Een 
  afzonderlijk 
  onderzoek 
  is 
  dus 
  ook 
  hier 
  niet 
  noodig, 
  

   wel 
  is 
  dit 
  het 
  geval 
  als 
  het 
  stelsel 
  oppervlakken 
  drie 
  gemeenschap- 
  

   pelijke 
  punten 
  A, 
  B 
  en 
  C 
  bezit, 
  want 
  hoewel 
  ook 
  hierbij 
  als 
  voren 
  

   vier 
  gekoppelde 
  kegelpunten 
  ontstaan, 
  biedt 
  dit 
  geval 
  de 
  gelegenheid 
  

   tot 
  het 
  bepalen 
  van 
  het 
  volledig 
  aantal 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  van 
  

   O*, 
  om 
  welke 
  reden 
  deze 
  bijzonderheid 
  nader 
  zal 
  worden 
  beschouwd. 
  

  

  49. 
  Men 
  onderstelle 
  wederom 
  als 
  gegevens, 
  gelijk 
  in 
  hoofdstuk 
  

   IV 
  29 
  en 
  30, 
  het 
  beeldoppervlak 
  O 
  x 
  2 
  en 
  de 
  rechten 
  a 
  x 
  , 
  c 
  x 
  en 
  c?i, 
  

   waarin 
  het 
  ontwikkelbare 
  oppervlak 
  K 
  x 
  a 
  zich 
  gesplitst 
  heeft. 
  Om 
  de 
  

   krommen 
  te 
  vinden, 
  waarmede 
  in 
  R\ 
  kegelsneden 
  op 
  O* 
  overeenko- 
  

   men, 
  heeft 
  men 
  dus 
  te 
  bepalen 
  : 
  

  

  a. 
  De 
  kubische 
  ruimtekrommen 
  op 
  0^, 
  die 
  door 
  de 
  twee 
  snijpun- 
  

   ten 
  van 
  Oj 
  2 
  met 
  c/i 
  gaan 
  en 
  door 
  een 
  van 
  elk 
  der 
  snijpunten 
  van 
  

  

  4* 
  

  

  