﻿56 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  X. 
  Algemeene 
  Opmerkingen. 
  

  

  53. 
  Aan 
  het 
  einde 
  dezer 
  indeeling 
  komt 
  het 
  mij 
  gewenscht 
  voor 
  

   de 
  gevondene 
  uitkomsten 
  te 
  vergelijken 
  met 
  het 
  daaromtrent 
  be- 
  

   staande 
  en 
  door 
  een 
  algemeen 
  overzicht 
  de 
  vormen 
  van 
  het 
  opper- 
  

   vlak 
  bijeen 
  te 
  brengen. 
  

  

  Gelijk 
  reeds 
  in 
  den 
  beginne 
  werd 
  opgemerkt, 
  zijn 
  door 
  Salmon 
  l 
  ) 
  

   eenige 
  bijzonderheden 
  van 
  het 
  nu 
  besprokene 
  oppervlak 
  vermeld 
  ; 
  

   deze 
  bespreking 
  steunt, 
  overeenkomstig 
  den 
  aard 
  van 
  het 
  genoemde 
  

   werk, 
  op 
  de 
  bijzondere 
  gedaanten, 
  die 
  de 
  vergelijking 
  aan 
  kan 
  

   nemen. 
  Daar 
  bij 
  Salmon 
  evenwel 
  de 
  meetkundige 
  beteekenis 
  der 
  

   verschillende 
  bijzondere 
  gevallen 
  van 
  de 
  vergelijking 
  slechts 
  zeer 
  

   ter 
  loops 
  en 
  zeer 
  onvolledig 
  in 
  het 
  licht 
  wordt 
  gesteld, 
  zal 
  nu 
  in 
  

   de 
  eerste 
  plaats 
  worden 
  nagegaan, 
  welke 
  der 
  in 
  deze 
  verhandeling 
  

   gevonden 
  vormen 
  ook 
  bij 
  Salmon 
  voorkomen 
  en 
  door 
  welk 
  der 
  bij- 
  

   zondere 
  gevallen 
  der 
  vergelijkingen 
  zij 
  worden 
  voorgesteld. 
  

  

  Daartoe 
  vol 
  ge 
  vooreerst 
  de 
  opsomming 
  der 
  vormen 
  van 
  de 
  verge- 
  

   king, 
  waarbij 
  voor 
  de 
  verdere 
  beteekenis 
  naar 
  Salmon 
  zeiven 
  wordt 
  

   verwezen. 
  

  

  De 
  vergelijking 
  van 
  het 
  oppervlak 
  O 
  4 
  * 
  met 
  dubbelrechte 
  luidt 
  in 
  

   haar 
  algemeensten 
  vorm 
  : 
  

  

  U±-\- 
  u 
  i 
  x 
  B 
  -{-v 
  ? 
  x 
  i! 
  -{'t 
  2 
  x 
  & 
  2 
  -\-u 
  2 
  x 
  3 
  x 
  4l 
  -\-v 
  2 
  x 
  é 
  2 
  = 
  (1). 
  

  

  Hierin 
  is 
  X\ 
  — 
  0, 
  x 
  2 
  = 
  de 
  dubbelrechte 
  en 
  u 
  3 
  enz. 
  zijn 
  

  

  functiën 
  van 
  x\ 
  en 
  x 
  2 
  , 
  den 
  graad 
  bezittende 
  door 
  de 
  indices 
  aan- 
  

   gegeven. 
  

  

  De 
  bijzondere 
  gevallen, 
  door 
  Salmon 
  behandeld 
  zijn: 
  

  

  t 
  2l 
  u 
  2 
  , 
  v 
  2 
  hebben 
  een 
  gemeenschappelijken 
  factor 
  ; 
  (2) 
  

  

  h 
  x 
  z 
  % 
  + 
  u 
  2 
  x 
  s 
  x± 
  + 
  v 
  2 
  xj 
  2 
  wordt 
  (a 
  x 
  z 
  + 
  b 
  x±) 
  (% 
  x 
  3 
  + 
  v 
  2 
  x 
  é 
  ) 
  ; 
  (3) 
  

  

  h 
  x 
  s 
  + 
  %%^4 
  + 
  v 
  2 
  x^ 
  wordt 
  (ax 
  1 
  + 
  bx 
  2 
  )(a'x 
  z 
  J 
  \ 
  r 
  b'x 
  é 
  )(x 
  1 
  x 
  z 
  -f 
  x 
  2 
  x^)] 
  (4) 
  

   h 
  x 
  % 
  + 
  % 
  x 
  z 
  x 
  i- 
  + 
  v 
  z 
  x 
  £ 
  wordt 
  {ax* 
  -f- 
  2 
  b 
  x 
  x 
  x 
  2 
  -f- 
  c 
  x 
  2 
  2 
  ) 
  

  

  (d 
  # 
  3 
  2 
  -\-2diX 
  s 
  x 
  4 
  -\-d 
  2 
  x^) 
  ; 
  (5a) 
  

   h 
  x 
  à 
  2 
  + 
  %^3^4 
  + 
  v 
  2 
  x^ 
  wordt 
  (ax 
  l 
  z 
  -\-2 
  bxiX 
  2 
  -]-cx 
  2 
  2 
  )(d 
  x 
  s 
  J 
  r 
  d 
  1 
  x 
  4 
  ) 
  2 
  ] 
  (bb) 
  

  

  t 
  2 
  x^-\-u 
  2 
  x 
  s 
  x 
  4 
  -\-v 
  2 
  x^wovdt(xiX 
  & 
  J 
  r 
  x 
  2 
  x 
  4 
  )(u 
  l 
  x 
  d 
  ^-v 
  l 
  x 
  4: 
  )- 
  } 
  (6) 
  

  

  h 
  x 
  ?? 
  + 
  w 
  2 
  x 
  z 
  x 
  ± 
  + 
  v 
  2 
  x^ 
  wordt 
  (x\ 
  x 
  3 
  -f 
  x 
  2 
  x^f 
  (7) 
  

  

  h 
  x 
  s* 
  + 
  u 
  2 
  XzX$ 
  + 
  v 
  2 
  x 
  i 
  i 
  wordt 
  x 
  ] 
  2 
  x 
  3 
  x 
  4 
  , 
  (8a) 
  

  

  h 
  x 
  z 
  + 
  % 
  x 
  z 
  x 
  i 
  + 
  v 
  % 
  % 
  2 
  wordt 
  x^x 
  3 
  (Sb) 
  

  

  ') 
  Salmon-Fiedler, 
  Analytische 
  Geometrie 
  des 
  Rauraes, 
  II 
  Th. 
  3te 
  Auflage, 
  § 
  335 
  — 
  

   337, 
  hl. 
  442—446. 
  

  

  