﻿58 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  voorwaarde 
  in, 
  dat 
  de 
  kegelsnede 
  de 
  rechte 
  X\ 
  — 
  0, 
  x 
  z 
  = 
  raakt, 
  

   dan 
  moet 
  men 
  de 
  waarde 
  van 
  m 
  vinden, 
  die 
  de 
  klemvlakken 
  levert. 
  

   De 
  voorwaarde 
  is 
  alzoo 
  : 
  

  

  B' 
  2 
  — 
  A' 
  C' 
  

   (6] 
  m 
  + 
  b 
  f 
  = 
  (<h 
  m 
  + 
  a 
  ) 
  (c 
  : 
  m 
  + 
  c 
  ) 
  ; 
  

  

  deze 
  vergelijking 
  geeft 
  twee 
  waarden 
  voor 
  m, 
  alzoo 
  is 
  stand 
  d 
  de 
  

   overeenkomstige 
  ; 
  voor 
  stand 
  ƒ 
  zoude 
  een 
  der 
  wortels 
  dezer 
  verge- 
  

  

  lrjkmg 
  — 
  — 
  — 
  moeten 
  znn. 
  

   et 
  

  

  55. 
  Voor 
  het 
  geval 
  (3) 
  gaat 
  na 
  substitutie 
  als 
  boven 
  de 
  verge- 
  

   lijking 
  over 
  in 
  : 
  

  

  (ax$ 
  -\-bx±) 
  { 
  (a 
  2 
  m 
  2 
  + 
  2 
  m 
  + 
  a 
  ) 
  x$ 
  + 
  (b 
  z 
  m 
  2 
  J 
  r 
  2b 
  l 
  m-\- 
  b 
  Q 
  )x4,} 
  =0. 
  

  

  De 
  beide 
  snijpunten 
  met 
  de 
  dubbelrechte 
  worden 
  dus 
  verkregen 
  door 
  

   deze 
  factoren 
  afzonderlijk 
  = 
  te 
  stellen 
  ; 
  hieruit 
  volgt, 
  dat 
  voor 
  elke 
  

   waarde 
  van 
  m 
  een 
  der 
  beide 
  snijpunten 
  standvastig 
  blijft, 
  het 
  andere 
  

   is 
  veranderlijk 
  ; 
  dit 
  geval 
  is 
  dus 
  vertegenwoordigd 
  door 
  stand 
  c 
  of 
  e. 
  

   Om 
  weder 
  te 
  bepalen 
  met 
  welk 
  dezer 
  beide 
  standen 
  men 
  te 
  doen 
  

   heeft, 
  bepale 
  men 
  de 
  snijpunten 
  der 
  rechte 
  x^—px^ 
  Xi—mx^ 
  met 
  

   het 
  oppervlak; 
  deze 
  rechte 
  zal 
  een 
  raaklijn 
  in 
  een 
  punt 
  der 
  dubbel- 
  

   rechte 
  zijn 
  wanneer 
  een 
  harer 
  snijpunten 
  in 
  de 
  dubbelrechte 
  valt 
  ; 
  

   alzoo 
  stelle 
  men 
  weder 
  in 
  de 
  vergelijking 
  van 
  den 
  tweeden 
  graad 
  

   x 
  z 
  — 
  ; 
  deze 
  opvolgende 
  substitutiën 
  doen 
  de 
  vergelijking 
  voor 
  het 
  

   oppervlak 
  met 
  drievoudig 
  punt 
  overgaan 
  in 
  : 
  

  

  (ap 
  + 
  b) 
  { 
  (« 
  a 
  m 
  2 
  + 
  2 
  ff 
  1 
  m 
  + 
  a 
  ) 
  p 
  + 
  (b 
  z 
  m 
  2 
  -f- 
  2 
  bi 
  m 
  + 
  b 
  ) 
  } 
  = 
  0. 
  

  

  Deze 
  vergelijking 
  wijst 
  de 
  betrekking 
  aan 
  tusschen 
  m 
  en 
  p 
  opdat 
  de 
  

   aangenomene 
  rechte 
  een 
  raaklijn 
  zij 
  in 
  een 
  punt 
  der 
  dubbelrechte. 
  

  

  Bij 
  een 
  klempunt 
  moeten 
  twee 
  waarden 
  van 
  m 
  samenvallen 
  ; 
  stelt 
  

   men 
  dus 
  de 
  ontwikkelde 
  vergelijking: 
  

  

  (ff 
  2 
  _p 
  + 
  b 
  & 
  ) 
  m 
  % 
  +2(a 
  1 
  p-\ 
  r 
  b 
  1 
  )m 
  + 
  a 
  p 
  + 
  b 
  = 
  0, 
  

   dan 
  is 
  deze 
  voorwaarde 
  : 
  

  

  (ffijo 
  + 
  h) 
  2 
  — 
  (ff 
  2 
  p 
  + 
  b 
  s 
  ) 
  (ff 
  p 
  + 
  b 
  ) 
  — 
  0, 
  

   hieruit 
  volgt, 
  dat 
  het 
  oppervlak 
  nog 
  twee 
  klempunten 
  bezit, 
  behalve 
  

   het 
  drievoudige 
  punt, 
  gegeven 
  door 
  de 
  waarde 
  p 
  — 
  ; 
  het 
  opper- 
  

  

  