﻿60 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  twee 
  klem 
  vlakken 
  ; 
  deze 
  beide 
  klem 
  vlakken 
  dienen 
  dubbel 
  geteld 
  te 
  

   worden 
  en 
  het 
  hier 
  voorkomende 
  geval 
  is 
  dus 
  de 
  stand 
  y. 
  

  

  De 
  stand 
  h 
  treedt 
  in 
  wanneer 
  de 
  beide 
  wortels 
  dezer 
  vergelijking 
  

   aan 
  elkander 
  gelijk 
  worden, 
  waaruit 
  een 
  verband 
  tusschen 
  de 
  groot- 
  

   heden 
  a 
  en 
  b 
  volgt. 
  

  

  57. 
  De 
  vergelijking 
  (7) 
  gaat 
  na 
  de 
  vroeger 
  aangegeven 
  substitu- 
  

   tion 
  over 
  in 
  : 
  

  

  (oj 
  3 
  + 
  mx^f 
  — 
  0. 
  

  

  Voor 
  alle 
  waarden 
  van 
  m 
  wordt 
  nu 
  aan 
  de 
  voorwaarde 
  van 
  een 
  

   klemvlak 
  en 
  klempunt 
  voldaan, 
  de 
  dubbelrechte 
  is 
  dus 
  een 
  keerrechte 
  

   geworden. 
  Het 
  blijkt 
  evenwel, 
  dat, 
  voor 
  verschillende 
  waarden 
  van 
  

   m, 
  men 
  ook 
  verschillende 
  raakpunten 
  van 
  de 
  kegelsnede 
  met 
  de 
  

   dubbelrechte 
  verkrijgt, 
  het 
  raakvlak 
  is 
  dus 
  in 
  elk 
  punt 
  der 
  keerrechte 
  

   verschillend 
  en 
  de 
  vergelijking 
  (7) 
  stemt 
  overeen 
  met 
  den 
  stand 
  m. 
  

   Bij 
  de 
  vergelijking 
  (8a) 
  en 
  (8b) 
  verkrijgt 
  men: 
  

  

  m 
  z 
  x 
  3 
  z 
  — 
  0. 
  

  

  De 
  eerste 
  dezer 
  vergelijkingen 
  is 
  deelbaar 
  door 
  m 
  2 
  ; 
  zij 
  wijst 
  dus 
  

   op 
  twee 
  standvastige 
  samenvallende 
  raakvlakken 
  ; 
  er 
  zijn 
  tevens 
  twee 
  

   drievoudige 
  punten 
  .r 
  3 
  — 
  en 
  x 
  4 
  = 
  ; 
  zij 
  heeft 
  dus 
  betrekking 
  op 
  

   den 
  stand 
  n 
  ; 
  terwijl 
  eindelijk 
  bij 
  de 
  tweede 
  dezer 
  vergelijkingen 
  de 
  

   beide 
  drievoudige 
  punten 
  samenvallen 
  en 
  dus 
  de 
  stand 
  o 
  optreedt. 
  

  

  58. 
  Zooals 
  uit 
  het 
  bovenstaande 
  blijkt, 
  zijn 
  door 
  Salmon 
  de 
  stan- 
  

   den 
  «, 
  b, 
  e 
  : 
  ƒ, 
  h, 
  j 
  niet 
  opgenomen 
  De 
  laatste 
  vier 
  hebben 
  hun 
  

   plaats 
  in 
  deze 
  beschouwing 
  reeds 
  gevonden 
  ; 
  de 
  standen 
  a 
  en 
  b 
  kun- 
  

   nen 
  insgelijks 
  afgeleid 
  worden 
  en 
  wel 
  op 
  de 
  volgende 
  wijze 
  : 
  

  

  Herneemt 
  men 
  de 
  algemeene 
  vergelijking: 
  

  

  (a 
  2 
  m 
  % 
  + 
  2 
  a-i 
  m 
  -f 
  «o) 
  x 
  * 
  + 
  2 
  (h 
  m 
  1 
  + 
  2 
  b 
  x 
  m 
  -f- 
  b 
  ) 
  x 
  3 
  x± 
  + 
  

  

  + 
  (c 
  3 
  m 
  2 
  + 
  2 
  c 
  l 
  m 
  + 
  c 
  )x^— 
  0, 
  

  

  dan 
  vindt 
  men 
  klemvlakken 
  door 
  de 
  voorwaarde 
  van 
  gelijkheid 
  van 
  

   wortels 
  in 
  te 
  voeren. 
  De 
  daaruit 
  voortvloeiende 
  vergelijking 
  is 
  van 
  

   den 
  vierden 
  graad 
  in 
  m 
  ; 
  de 
  stand 
  a 
  nu 
  stemt 
  overeen 
  met 
  de 
  

   voorwaarde 
  van 
  gelijkheid 
  van 
  twee 
  wortels 
  dezer 
  vergelijking, 
  de 
  

   stand 
  h 
  met 
  de 
  voorwaarde 
  van 
  gelijkheid 
  van 
  drie 
  wortels. 
  Men 
  

   verkrijgt 
  verder 
  de 
  systematische 
  volgorde 
  van 
  standen, 
  zooals 
  zij 
  

   bij 
  het 
  geval 
  B 
  meetkundig 
  gevonden 
  is, 
  terug, 
  wanneer 
  men 
  de 
  

  

  