﻿62 
  ONTSTAAN 
  VAN 
  OPPERVLAKKEN 
  VAN 
  DEN 
  VIERDEN 
  GRAAD 
  MET 
  

  

  Een 
  kegelpunt 
  vertegenwoordigt 
  vier 
  voorwaarden; 
  twee 
  kegel- 
  

   punten 
  staan 
  dus 
  met 
  acht 
  voorwaarden 
  gelijk; 
  vereenigen 
  deze 
  zich 
  

   tot 
  een 
  biplanaar 
  punt 
  der 
  tweede 
  soort, 
  dan 
  zijn 
  dit 
  evenwel 
  slechts 
  

   dan 
  acht 
  voorwaarden 
  als 
  de 
  raaklijn 
  tevens 
  gegeven 
  is 
  ; 
  is 
  het 
  

   biplanaar 
  punt 
  zonder 
  meer 
  gegeven, 
  dan 
  zijn 
  dit 
  zeven 
  voorwaarden. 
  

  

  60. 
  Zooals 
  uit 
  N°. 
  11, 
  N°. 
  30 
  en 
  N°. 
  49 
  blijkt, 
  is 
  de 
  bepaling 
  

   van 
  de 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  in 
  het 
  algemeene 
  geval 
  bezwaarlijk, 
  

   maar 
  in 
  de 
  bijzondere 
  gevallen, 
  dat 
  het 
  oppervlak 
  drie 
  of 
  vier 
  kegel- 
  

   punten 
  heeft, 
  eenvoudig. 
  Hoewel 
  de 
  bepaling 
  van 
  het 
  aantal 
  drie- 
  

   voudige 
  raakvlakken 
  niet 
  direct 
  geschied 
  is, 
  zoo 
  kan 
  wellicht 
  de 
  

   navolgende 
  weg 
  ingeslagen 
  worden 
  ter 
  volledige 
  bepaling 
  van 
  dit 
  

   aantal. 
  

  

  Het 
  is 
  gebleken 
  (4 
  ft) 
  dat, 
  wanneer 
  het 
  beeldoppervlak 
  een 
  kegel 
  

   is, 
  en 
  het 
  stelsel 
  oppervlakken 
  drie 
  punten 
  bezit, 
  die 
  aan 
  alle 
  opper- 
  

   vlakken 
  gemeen 
  zijn, 
  het 
  totaal 
  aantal 
  drievoudige 
  raakvlakken 
  20 
  

   is. 
  Tevens 
  is 
  gebleken, 
  dat 
  het 
  oppervlak 
  met 
  vier 
  kegelpunten 
  

   eveneens 
  ontstaat, 
  wanneer 
  het 
  oppervlakkenstelsel 
  geen 
  vaste 
  punten 
  

   bezit, 
  terwijl 
  insgelijks 
  het 
  beeldoppervlak 
  een 
  kegel 
  is. 
  Nu 
  is 
  in 
  

   het 
  algemeen 
  de 
  met 
  een 
  kegelsnede 
  van 
  O 
  4, 
  overeenkomende 
  kromme 
  

   in 
  Ei 
  een 
  kubische 
  ruimtekromme, 
  die 
  Ki 
  6 
  in 
  vijf 
  punten 
  raakt 
  (11) 
  ; 
  

   brengt 
  men 
  nu 
  deze 
  uitkomsten 
  met 
  elkander 
  in 
  verband, 
  dan 
  volgt 
  

   hieruit 
  : 
  

  

  Construeert 
  men 
  de 
  ruimtekromme 
  Ci 
  12 
  van 
  den 
  twaalfden 
  graad, 
  

   volgens 
  welke 
  Ki 
  6 
  het 
  beeldoppervlak 
  Oi 
  2 
  snijdt, 
  dan 
  zijn 
  er 
  40 
  ku- 
  

   bische 
  ruimtekrommen 
  op 
  0^ 
  te 
  construeeren, 
  die 
  Ci 
  u 
  in 
  vijf 
  pun- 
  

   ten 
  raken. 
  

  

  Deze 
  40 
  krommen 
  liggen 
  in 
  tweetallen 
  op 
  een 
  kubisch 
  regelvlak, 
  

   zoodat 
  er 
  20 
  dezer 
  regelvlakkeii 
  zijn. 
  Met 
  deze 
  komen 
  20 
  drievoudige 
  

   raakvlakken 
  in 
  R 
  overeen. 
  Onder 
  deze 
  ruimtekrommen 
  zijn 
  er 
  acht, 
  

   die 
  overgaan 
  in 
  stralen 
  van 
  den 
  kegel 
  Oi 
  2 
  , 
  deze 
  geven 
  aanleiding- 
  

   tot 
  vier 
  vlakken 
  (raakvlakken 
  aan 
  &i 
  6 
  ), 
  waarin 
  vier 
  der 
  gemelde 
  

   regelvlakken 
  overgaan. 
  

  

  Bij 
  een 
  oppervlak 
  zonder 
  kegelpunten 
  wordt 
  het 
  aantal 
  noodzake- 
  

   lijk 
  grooter 
  ; 
  alsdan 
  is 
  Of 
  een 
  willekeurig 
  kwadratisch 
  regelvlak 
  en, 
  

   terwijl 
  door 
  vijf 
  punten 
  op 
  een 
  kegeloppervlak 
  slechts 
  een 
  kubische 
  

   ruimtekromme 
  op 
  dit 
  oppervlak 
  kan 
  geconstrueerd 
  worden, 
  zoo 
  is 
  dit 
  

   bij 
  een 
  willekeurig 
  regelvlak 
  twee, 
  daar 
  de 
  beide 
  op 
  den 
  kegel 
  ver- 
  

   eenigde 
  stelsels 
  beschrijvende 
  rechten 
  hier 
  gescheiden 
  zijn. 
  Zoo 
  deze 
  

   regel 
  voor 
  alle 
  aannamen 
  doorging, 
  zoude 
  het 
  aantal 
  drievoudige 
  

   raakvlakken 
  40 
  bedragen. 
  

  

  61. 
  Vat 
  men 
  eindelijk 
  de 
  verkregen 
  vormen 
  van 
  O 
  4 
  te 
  zamen, 
  

   dan 
  ziet 
  men 
  dat 
  de 
  volgende 
  uitkomst 
  bereikt 
  is. 
  

  

  