24 JORNAL DE SGIENCIAS MATHEWAT1CAS 



Se pois designarmos por z' e z as distancias ao plano xy em 

 que as geratrizes OM e 0'M' são encontradas pela perpendicular e este 

 mesmo plano tirada por F, teremos OF=z tang i s Q'F~z' tang i, 

 mas OF=0'F, logo *=*'. 



O plano tangente em m é pois definido pelas duas rectas m O e 

 m O 1 . Esta demonstração, do encontro das duas rectas OMe O' iW" prova 

 também que, se uma d'estas rectas gera a superfície, também a outra a 

 pôde gerar; pois que, suppondo uma d'ellas em qualquer de suas posi. 

 çôes, não haverá ponto algum d'ella que não possa ser encontrado pela 

 outra, deslocando-se convenientemente; resultando desta reciprocidade 

 que, os logares geométricos de ambas as rectas são perfeitamente idên- 

 ticos. Ha pois dois systemas de geratrizes rectilineas no hyperboloide 

 que estudamos. 



A geratriz 0'M", torna-se parallela á fixa OM, quando o ponto mo- 

 vei O 1 chegar a O", no prolongamento de CO. As duas geratrizes en- 

 contram-se no infinito, o o plano que então determinam, a saber: M O O", 

 é tangente á superfície no infinito da geratriz OM: e como o plano 

 MOF, tangente á superfície em O, lhe é perpendicular, será este o plano 

 central da geratriz OM; O o ponto central: e finalmente a circunferên- 

 cia da gola será a linha de stricção. 



Para achar o parâmetro (3 que n'esta superfície, visto ser de revo- 

 lução, é o mesmo para todas as geratrizes, conceba-se o angulo trie- 

 dre mOFO' cortado pela esphera do raio unidade, com o centro em m; 

 obteremos um triangulo espherico O 0'f, em que o angulo O é a medida 

 do angulo que o plano tangente em m forma com o plano central. Te- 

 remos pois. 



cot sen /^cot i sen i — cos /"cos i 



mas 



logo 



=(1 — cos/) cose, 



/==180— OCO'=iSO— 2 O CF, 



sen/=sen2 O CF=2 sen OCFcos O CF; 



1 — cos/=l+cos2 0CJF=2cos 2 0£F; 



2 cos 2 O CF 



cos 0= cose 



2sen O CF. cosOCF 

 cosi. cotOCF 



