PHYSICAS E NATURAES 23 



Tirando a perpendicular commum CO, ver-se-ha que o ponto O 

 descreverá uma circumferencia n'um plano perpendicular aCZ. Toma- 

 remos este plano para coordernado xy, e a recta CZpara eixo dos z. 



De um ponto qualquer Mtirem-se as coordenadas MP e P Q; e bem 

 assim tirem-se as rectas CP, OC e OP. Designando por i o angulo 

 que a geratriz OM forma com o eixo CZ, ou sua parallela MP, e a dis- 

 tancia OC por c, teremo, em virtude dos triângulos rectângulos OMP, 

 OCP e PCQ, 



OP*=*z* tangH OP 2 =C0 2 — c 2 , Ci»=a> a + y* " • 

 d'onde 



c 2 — c 2 cot 2 * 



que é a equação conhecida do hyperboloide de revolução de uma folha, 

 em que a equação x % -\-y' 2 =z i , representa o circulo da gola, e cujo 

 eixo imaginário tem por valor c cot iV — 1. 



Esta superfície é pois regrada e do género das empenadas; por 

 quanto, as geratrizes tendo todas um ponto na circumferencia da gola, 

 e caindo as projecções, no plano d'esta, de suas duas partes oppostas, 

 sobre as tangentes á dita gola, de lados. opposto ao referido ponto; seria 

 preciso, para que duas geratrizes se encontrassem, que as referidas pro- 

 jecções se interceptassem do mesmo lado de seus pontos de contacto, 

 o que não se verifica. 



A recta OM' situada no plano MOz', formando o mesmo angulo i 

 com Oz', gera o mesmo hyperboloide ao girar em torno de Oz. Com 

 effeito, a recta OM' conduz á mesma equação quando se procura uma 

 relação entre as coordenadas de qualquer de seus pontos, como se fez 

 a respeito da recta OM. Mas vê-se por outro lado que, os pontos de 

 ambas as rectas que se acham nos mesmos planos parallelos ao plano 

 xy, descrevem os mesmos parallelos da superfície. Por quanto, sendo 

 MM'z um d'esses planos, será z' O perpendicular a MM', e visto a egual- 

 dade dos ângulos z' OMez' OM', ter-se-ha z'M'=z'M; e como emnm 

 zz', parallela a CO, é perpendicular a MM', será M'z=Mz. 



Supponha-se, pois, fixa a recta OM, e que a recta OM se des- 

 loca para gerar a superfície; ella irá resvalando pela outra recta, deter- 

 minando com ella os planos tangentes d superfície nos pontos suecessi- 

 vamente communs. Suppondo por ex. que a recta movei tomou a posi- 

 ção 0'M", a sua projecção e a de OM no plano ^?/encontrar-se-hãon'um 

 ponto F. 



