138 JORNAL DE SCIENC1AS MATHEMATICAS 



porque 



2 a — D = 



é incompatível com a=D. 



Mas a — p tem logar quando a ellipse se transforma n'um circulo: 

 por tanto podemos dizer que nos espelhos esphericos os raios parti- 

 dos do centro vão convergir no mesmo ponto de qualquer dos diâme- 

 tros, como devia ser, pois n'este caso particular os raios incidentes se- 

 guem a normal e reflectem-se sobre ella, convergindo todos no centro. 



Vejamos porém se conservando-se elliptica a secção meridiana d'um 

 espelho, ha algum valor de D que torne D' independente de x, ou que 

 torne o numerador da formula (c) divisível pelo denominador. Como 

 o donominador d'esta formula é um trinomio do segundo grau, pode 

 representar-se por 



(a — p) (x — x') (x — x n ) 



sendo x\ x" as raizes do trinomio, e por tanto é necessário que o nu- 

 merador seja divisível por (x — x') e por (x—x"), por serem primos 

 estes factores, ou que tenham logar as seguintes egualdades 



(2 a 2 — 2a/? — Da-rDp)x , * + %ap(a — D)x f + Da*p_ 



. = ().... (i) 



a — p 



(2a* — 2ap — Da-]-Dp)x" 2 + %ap(a — D)a)" + Da 2 p 



_ =o. . . . (k) 



a — p 



Para calcular os valores de x' e x" resolvemos a equação 



(a — p) x 2 + la (p — D)x + a2(ZD—p)=0 

 a qual se transforma em: 



c 2 # 2 + 2a(ò 2 — aI))x + a*(ZaD — 6 2 )=- 



substituindo p pelo seu valor. 

 D'esta equação tira-se: 



a(aD-b*)±a*[/D>— 2a/> + 6 2 

 x — . 



