190 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



de rotação do plano a linha PQ; a superfície será cortada segundo có- 

 nicas que se projectam tangencialmente a VP e VQ nos pontos P e Q; 

 es eixos a terão ainda o mesmo logar geométrico, se PQ for paral- 

 lela a AB, e no caso contrario, que é o mais geral, uma linha diffe- 

 rente; os centros variam entre limites fixos. Nas duas rotações em sen- 

 tidos contrários obtem-se exactamente as mesmas cónicas, e por tanto 

 concluímos que: 



Quando um cone, ou cylindro, penetrar uma superfície de segunda 

 ordem, segundo uma curva plana, a curva da saída também será 

 plana. 



As cónicas inscriptas, ou não inscriptas, mas tangentes aos dois 

 lados de um angulo, podem considerar-se projecção de secções planas 

 feitas em todos os cones do mesmo contorno apparente, e tendo por 

 base uma cónica da mesma forma, que as da serie em questão; qual- 

 quer destas pode reputar-se projecção de duas secções dislinctas, pra- 

 ticadas em cada cone. 



Uma linha de dupla curvatura, assente sobre a superfície de um 

 cone, nunca se pode projectar n'um plano, segundo uma cónica, exce- 

 pto no caso da projecção central, tomando-se por centro o vértice do 

 cone. 



Quando a projecção sobre um plano de uma curva qualquer, col- 

 locada sobre uma superfície de segunda ordem, é uma cónica, a curva 

 projectada também será uma cónica. 



Imaginemos uma serie de cónicas tangentes aos dois lados de um 

 angulo, se fizermos gyrar uma secante em torno do vértice, as tangen- 

 tes respectivas, a duas cónicas, nos quatro pontos de intersecção, de- 

 terminados pela secante, vão determinar um quadrilátero, cujas diago- 

 naes teem direcções fixas, em consequência de representarem os traços, 

 que o plano de uma d'ellas, nas duas posições, que occupa no espaço, 

 faz sobre o plano da outra. As cordas ideaes de Poncelet teem pois 

 uma significação real, geométrica. 



Quando uma das cónicas dadas for inscripta, e a outra não inscri- 

 pta, podemos consideral-as como pertencendo a cones, que teem por 

 bases curvas supplementares, e determinam-se ainda as intersecções dos 

 dois planos correspondentes a uma com o plano da outra, substituindo 

 qualquer cVellas pela sua supplementar. Pois: 



Duas cónicas, existentes rtum plano, admittindo duas tangentes 

 communs, teem duas cordas communs, ambas reaes, ou ideaes; ou uma 

 real e outra ideal. 





