218 JORNAL DE SC1ENC1AS MATHEMAT1GA9 PHYS1GAS E NATURAE3 



Generalisaremos hoje o estudo (Testa questão de sombras resol- 

 vendo o seguinte problema : determinar sobre um circulo horisonlal um 

 systema de diâmetros perpendiculares, cujas sombras sobre o plano ver- 

 tical de projecção coincidam com os eixos da ellipse de sombra, na hy- 

 pothese dos raios luminosos serem parallelos. 



2. Seja CAB (fig. 1) um circulo traçado no plano XYP, C A 1 B' 

 a sombra produzida por elle no plano XYQ, que, por emquanto nâo 

 suppomos perpendicular ao plano do circulo, eCCa direcção dos raios 

 luminosos. As rectas CM e C N serão evidentemente as sombras pro- 

 duzidas por CM e CN; e é sabido que, se estes dois diâmetros do 

 circulo forem perpendiculares entre si, aquelles dois diâmetros da el- 

 lipse serão conjugados um do outro. Trata-se, pois, de saber, quaes 

 são as direcções, que devem ter as rectas CM e CN, ou antes quaes 

 as posições, que devem ter os pontos M e A 7 sobre XY, para que seja 

 recto o angulo MC N. Esta questão reduz-se ainda a determinar dois 

 ângulos rectos com os vértices em C e C, e taes que os seus lados se 

 encontrem em dois pontos Me N da recta XY. 



Conduzindo pelo meio m de CC um plano perpendicular a esta 

 recta e descrevendo uma espliera com o centro no ponto «, em que a 

 recta XY encontra aquelle plano, e com o raio egual a &>C ou wC, os 

 pontos M e A 7 , em que a superfície da esphera encontra X F, são os pon- 

 tos procurados, por serem rectos os ângulos MCN e MCN, como in- 

 scriptos nos semi-circulos MCN e MCN 



Determinadas assim as direcções CMe CA" dos eixos da ellipse 

 de sombra, bastará construir as sombras A! e B' dos pontos A e B para 

 se terem os semi-eixos CA' e C B'. 



Rebatendo o plano XYP do circulo, sobre o plano XYQ da ellipse 

 de sombra, e snppondo que n'esse caso o centro C do circulo vae para 

 O, será fácil achar os pontos M e A 7 , independentemente da esphera, 

 conduzindo ao meio n da recta CO uma perpendicular «w e descre- 

 vendo de w como centro uma circumferencia de circulo, que passe pelos 

 pontos C e 0. 



3. Em geral o problema tem uma única solução; pode, porém, 

 acontecer que o plano perpendicular ao meio de CC contenha a recta 

 XY, caso em que haverá uma infinidade de soluções, ou que o referido 

 plano não tenha ponto algum commum com aquella recta e por conse- 

 quência que não haja solução alguma. Em ambas as hypotheses a di- 

 recção CC dos raios luminosos é perpendicular á recta XY intersecção 

 do plano do circulo com o plano da sombra produzida. 



Quando a recta CC é perpendicular a XY, o ponto &> fica a uma 



