220 JORNAL DE SCIENCIAS MaTHÊMATIGAS 



distancia infinita, um dos eixos da ellipse é parallelo alFeo outro é 

 perpendicular a esta recta. Quando a recta CG é perpendicular a XY 

 e esta recta dista egualmenle de Ce G, o plano perpendicular ao meio 

 de CG passa por XY, o centro w da esphera está em qualquer ponto 

 de XYe ha uma infinidade de systemas de eixos. A ellipse transforma-se 

 então em circulo. 



No rebatimento os pontos CeO confundem-se, quando o plano 

 perpendicular ao meio de CG passa por XY; e são pontos distinctos 

 de uma perpendicular a AT, quando o mesmo plano é parallelo ali'. 



4. Não mudando a direcção CG dos raios luminosos, embora va- 

 rie de posição e mesmo de forma sobre o sen plano X YP o circulo 

 CAB, os eixos da ellipse de sombra conservam constantemente as mes- 

 mas direcções. 



Com effeito, a recta mw não muda de direcção, porque é a inter- 

 secção do plano, que contém os meios das rectas parallelas a CG t com 

 um plano perpendicular a CG; e, não mudando de direcção mw nem 

 CG, não mudam de direcção as rectas w Ce w G, ecomo wC=mjM=wC' 

 segue-se que também as rectas CM e G M se deslocarão parallelamente 

 a si mesmas. 



5. Consideremos agora um circulo (C, G), fig. 2, situado n'um 

 plano M'N parallelo ao plano horisontal de projecção, e a sombra pro- 

 duzida por elle sobre o plano vertical de projecção, na hypothese dos 

 raios luminosos serem parallelos a (CO, GO'), O ponto (O, O'), que é 

 a sombra produzida por (C, G), representa o centro da ellipse de som- 

 bra. Imaginando que o plano do circulo desce verticalmente, arrastando 

 comsigo a ellipse, e que, no momento de se confundir com o plano ho- 

 risontal de projecção, o plano vertical se rebate sobre o horisontal, de 

 sorte que a região inferior d'aquelle se confunde com a anterior do ho- 

 risontal, o ponto (O, O) irá occupar a posição K determinada pela con- 

 dição OK=0 ! H. Levantando ao meio de CK a perpendicular ww e des- 

 crevendo de w como centro uma circumferencia que passe por Ce Koh- 

 tem-se os pontos M e N dos quaes se deduzem M e N. E, por serem 

 rectos os ângulos MCN e MKN—M' 0'N', conclue-se que O' M' e 0'N' 

 sâo as direcções dos eixos da ellipse de sombra, e que CM e CiVsão 

 as direcções dos diâmetros dos círculos que teem por sombras os mes- 

 mos eixos. 



Construindo as sombras dos extremos dos diâmetros ad e be 

 acham-se os vértices da ellipse. 



0. Quando a recta (CO, GO') é perpendicular a LT, os dois pon- 

 tos C e K ficam sobre uma perpendicular á linha de terra e o ponto w 



