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werde, eine andere Form an, wenn die Curve dritter Ordnung einen 

 Rückkehrpunkt besitzt. 



Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Doppel- 

 punkte, wenn man diesen zum Coordinatenanfang nimmt, ist von der 

 Form : 



ax^ -}- hx'^y -\- cxy- + äy"^ -}- ex"^ -(- fxy -{- gy"^ = 0. (2) 



Als Gleichung des Tangentenpaares im Doppelpunkte ergibt sich 



ex"^ + fxy + gy- — 0. (3) 



Diese Doppelpunktstangenten fallen zusammen, bilden eine 

 Rückkehrtangente, wenn 



P — 4ge = 0. (4) 



In diesem Falle wird der Doppelpunkt zum Rückkehrpunkte. 

 Die Gleichung einer Curve dritter Ordnung mit einem Rück- 

 kehrpunkte lautet demnach 



ax^ + ^-^ V + (^xy^ + ^Ž/' + (xVe -\- yVgy = 0. (5) 

 Nehmen wir nun die Rückkehrtangente, deren Gleichung dem 

 Obigen zufolge 



.=-V: 



— X (6) 



ist, zur X-axe, die Senkrechte im Anfangspunkte zur F-axe an, so 

 geht die Gleichung (5) über in eine andere von der Form: 



ax^ + hx'^y 4- cxy"^ + dy^ =: ey"^. (7) 



2. Eine durch den Rückkehrpunkt gehende Gerade schneidet 

 die Curve dritter Ordnung noch in einem Punkte m, dessen Coordi- 

 naten wir folgendermassen bestimmen können. 



Die Gleichung einer durch den Rückkehrpunkt gehenden Ge- 

 raden ißt, wenn wir mit u die Cotangente des Winkels bezeichnen, 

 den diese mit der X axe einschliesst : 



X = uy. (8) 



Führen wir den Werth für x aus der Gleichung (8) in die 

 Gleichung (7) ein, so erhalten wir nach Unterdrückung des vom 

 Rückkehrpunkte herrührenden gemeinschaftlichen Faktors y"^, für die 

 Ordinate des Punktes m^ 



^ ^ au^-\-bu'' + cu-^d ^^^ 



und aus Gleichung (8) erhalten wir dessen Abscisse 



^ = 'J^ (10) 



au^ -\- bu^ -{- cu -\-d 



