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Aus den Gleichungen (9) und (10) erhellt, dass jedem Wertbe 

 von u ein bestimmter Punkt der Curve dritter Ordnung entspricht 

 und umgekehrt folgt aus Gleichung (8), dass jedem Curvenpunkt (in 

 bestimmter Werth von u zukommt; diese Grösse u wird der Para- 

 meter der ihm entsprechenden Curvenpunkte genannt. 



3. Führen wir die Werthe für x und y in die Gleichung einer 

 Geraden 



mx -i- ny -{- \ :=z 

 ein, so erhalten wir nach entsprechender Reduktion eine Gleichung 

 in Bezug auf u dritten Grades, und zwar: 



au^ -\- bu' ~\- (c -{- me) u -\- (d -{- nt) zz: 0. (11) 



Nach bekannter Relation zwischen den Coefficienten einer Glei- 

 chung und den Wurzeln derselben folgt 



(w),=:-4^, (12) 



wo (u)i die Summe der Wurzeln u^ , U2 , W3 bezeichnet. 



Da diese Gleichung unabläugig ist von den Grössen m und n, 

 so stellt sie uns die Bedingungpgleichung dar, unter welcher drei 

 Punkte einer Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehrpunkte aitf 

 eiter Geraden liegen. 



Wir können diese Bcdingungsgleicbnrg durch geschickte Wahl 

 der Y-axe noch vereinfachen. 



Drehen wir die Yhxe um den Winkel 



a = arctg{ ^), 



so fällt nach der Transformation das Glied x'^y weg uod wir erbalten 

 bei dieser Wahl der Coordinatenaxen die einfachste Gleichung einer 

 Curve dritter Ordnung mit einem Rückkehrpunkte in Form: 



ax^ -f bxy'' + ci/^ + dy- = , (13) 



und die Gleichungen (9), (10) und (12) gehen über in : 



či 



(«)i = 0. (16) 



Die Gleichung (16) ist die gesuchte Form, in welche die Gl. (1) 



